रामानुजन संकलन

रामानुजन संकलन एक ऐसी तकनीक है जिसका आविष्कार गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन ने अपसारी अनंत श्रेणी के लिए एक मान निर्दिष्ट करने के लिए किया था। यद्यपि एक भिन्न श्रेणी का रामानुजन संकलन पारंपरिक अर्थों में योग नहीं है, इसमें ऐसे गुण हैं जो इसे भिन्न अनंत श्रेणी के अध्ययन में गणितीय रूप से उपयोगी बनाते हैं, जिसके लिए पारंपरिक संकलन अपरिभाषित है।

क्योंकि संपूर्ण राशि का कोई गुण नहीं है, रामानुजन योग आंशिक राशियों की संपत्ति के रूप में कार्य करता है। यदि हम बर्नौली संख्याओं का उपयोग करते हुए सुधार नियम के साथ यूलर-मैकलॉरिन योग सूत्र लेते हैं, तो हम देखते हैं कि:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}f(0)+f(1)+\cdots +f(n-1)+{\frac {1}{2}}f(n)&={\frac {f(0)+f(n)}{2}}+\sum _{k=1}^{n-1}f(k)\\&=\int _{0}^{n}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}\left[f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\right]+R_{p}\end{aligned}}}$

रामानुजन ^[1] ने इसे अनंत तक जाने वाले केस p के लिए लिखा था:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{x}f(k)=C+\int _{0}^{x}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)}$

जहां C श्रेणी के लिए निरंतर विशिष्ट है और इसकी विश्लेषणात्मक निरंतरता और अभिन्न पर सीमाएं रामानुजन द्वारा निर्दिष्ट नहीं की गई थीं, लेकिन संभवतः वे ऊपर दी गई थीं। दोनों सूत्रों की तुलना करना और यह मानते हुए कि R 0 की ओर प्रवृत्त होता है क्योंकि x अनंत की ओर जाता है, हम देखते हैं कि, एक सामान्य स्थिति में, x = 0 पर कोई विचलन के साथ f(x) फलन के लिए:

${\displaystyle C(a)=\int _{0}^{a}f(t)\,dt-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)}$

जहां रामानुजन ने ग्रहण किया ${\displaystyle a=0.}$ लेने से ${\displaystyle a=\infty }$ में हम आम तौर पर अभिसरण श्रेणी के लिए सामान्य संकलन प्राप्त करते हैं। x = 1 पर बिना किसी विचलन वाले फलनों f(x) के लिए, हम प्राप्त करते हैं:

${\displaystyle C(a)=\int _{1}^{a}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(1)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(1)}$

C(0) को तब विचलन अनुक्रम के योग के रूप में उपयोग करने का प्रस्ताव दिया गया था। यह योग और एकीकरण के बीच एक सेतु की तरह है।

उपयुक्त वृद्धि की स्थिति वाले फलनों के लिए संकलन का अभिसरण संस्करण तब है जब:

${\displaystyle f(1)+f(2)+f(3)+\cdots =-{\frac {f(0)}{2}}+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt}$

तुलना करने के लिए, हाबिल-प्लाना सूत्र देखें।

निम्नलिखित पाठ में, ${\displaystyle ({\mathfrak {R}})}$ "रामानुजन संकलन" को इंगित करता है। यह सूत्र मूल रूप से रामानुजन की नोटबुक में से एक में दिखाई दिया, बिना किसी संकेत के यह इंगित करने के लिए कि यह योग की एक नई विधि का उदाहरण है।

उदाहरण के लिए, 1 - 1 + 1 - ….. का ${\displaystyle ({\mathfrak {R}})}$ है:

${\displaystyle 1-1+1-\cdots ={\frac {1}{2}}\quad ({\mathfrak {R}}).}$

रामानुजन ने ज्ञात अपसारी श्रेणी के "राशि" की गणना की थी। यह उल्लेख करना महत्वपूर्ण है कि रामानुजन योग सामान्य अर्थों में श्रृंखला के योग नहीं हैं, ^[2] यानी आंशिक राशियां इस मान में परिवर्तित नहीं होती हैं, जो कि ${\displaystyle ({\mathfrak {R}})}$ प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है। विशेष रूप से, ${\displaystyle ({\mathfrak {R}})}$1 + 2 + 3 + 4 + ··· के योग की गणना इस प्रकार की गई:

${\displaystyle 1+2+3+\cdots =-{\frac {1}{12}}\quad ({\mathfrak {R}})}$

सकारात्मक सम शक्तियों का विस्तार करते हुए, इसने दिया:

${\displaystyle 1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\quad ({\mathfrak {R}})}$

और विषम शक्तियों के लिए दृष्टिकोण ने बर्नौली संख्या के साथ संबंध का सुझाव दिया:

${\displaystyle 1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-{\frac {B_{2k}}{2k}}\quad ({\mathfrak {R}})}$

रामानुजन के योग के परिणाम के रूप में C(0) के बजाय C(1) के प्रयोग का प्रस्ताव किया गया है, तब से यह आश्वासन दिया जा सकता है कि एक श्रेणी ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)}$ एक और केवल एक रामानुजन के योग को स्वीकार करता है, जिसे अंतर समीकरण के एकमात्र समाधान के 1 में मान के रूप में परिभाषित किया गया है ${\displaystyle R(x)-R(x+1)=f(x)}$ जो ${\displaystyle \textstyle \int _{1}^{2}R(t)\,dt=0}$ की स्थिति की पुष्टि करता है।

रामानुजन के योग की यह परिभाषा (${\displaystyle \textstyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}f(n)}$ के रूप में निरूपित) पहले परिभाषित रामानुजन के योग से मेल नहीं खाती, C(0), न ही अभिसरण श्रेणी के योग के साथ, लेकिन इसमें दिलचस्प गुण हैं, जैसे: यदि R(x) x  → 1, फिर श्रेणी ${\displaystyle \textstyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}f(n)}$ अभिसरण है, और हमारे पास है

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}f(n)=\lim _{N\to \infty }\left[\sum _{n=1}^{N}f(n)-\int _{1}^{N}f(t)\,dt\right]}$

विशेष रूप से हमारे पास है:

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\mathfrak {R}}{\frac {1}{n}}=\gamma }$

जहां γ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।

रामानुजन संकलन को समाकल तक बढ़ाया जा सकता है; उदाहरण के लिए, यूलर-मैकलॉरिन संकलन सूत्र का उपयोग करके, कोई लिख सकता है

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }x^{m-s}\,dx&={\frac {m-s}{2}}\int _{a}^{\infty }x^{m-1-s}\,dx+\zeta (s-m)-\sum _{i=1}^{a}\left[i^{m-s}+a^{m-s}\right]\\&\qquad -\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {B_{2r}\theta (m-s+1)}{(2r)!\Gamma (m-2r+2-s)}}(m-2r+1-s)\int _{a}^{\infty }x^{m-2r-s}\,dx\end{aligned}}}$

जो कि जीटा नियमितीकरण एल्गोरिथम के समाकल का स्वाभाविक विस्तार है।

यह पुनरावृत्ति समीकरण सीमित है, क्योंकि ${\displaystyle m-2r<-1}$ के लिए,

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }dx\,x^{m-2r}=-{\frac {a^{m-2r+1}}{m-2r+1}}.}$

ध्यान दें कि इसमें शामिल है (जीटा फलन नियमितीकरण देखें)

${\displaystyle I(n,\Lambda )=\int _{0}^{\Lambda }dx\,x^{n}}$.

${\displaystyle \Lambda \to \infty }$ के साथ, इस रामानुजन संकलन के प्रयोग से प्रमात्रा क्षेत्र सिद्धांत के पुनर्सामान्यीकरण में परिमित परिणाम प्राप्त होते हैं।

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