थीटा फलन

गणितीय सम्मिश्र विश्लेषण में, थीटा फलन कई जटिल चर के कार्यों का एक विशेष वर्ग बनाते हैं। इन कार्यों की व्यवस्थित रूप से गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन और कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी द्वारा जांच की गई थी। थीटा फलन अण्डाकार कार्यों में से हैं। उनका उपयोग गणितीय विश्लेषण और उष्मागतिकी में किया जाता है। ग्रासमैन के बीजगणित के लिए सामान्यीकृत, थीटा फलन प्रमात्रा क्षेत्र सिद्धान्त में भी दिखाई होते हैं।

मूल जैकोबी थीटा फलन अर्ध-दोगुने आवधिक अण्डाकार कार्य हैं और उन्हें अनंत राशि के रूप में परिभाषित किया गया है:

${\displaystyle \vartheta _{1}(z;w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k-1/2}\exp[(2k+1)iz+(k+{\tfrac {1}{2}})^{2}\ln(w)]}$

${\displaystyle \vartheta _{2}(z;w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp[(2k+1)iz+(k+{\tfrac {1}{2}})^{2}\ln(w)]}$

${\displaystyle \vartheta _{3}(z;w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp[2kiz+k^{2}\ln(w)]}$

${\displaystyle \vartheta _{4}(z;w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\exp[2kiz+k^{2}\ln(w)]}$

प्रोटेस्टेंट जर्मन गणितज्ञ कार्ल गुस्ताव जैकोब जैकोबी ने 1829 में इन विश्लेषणात्मक कार्यों की शुरुआत की।

उन्होंने उन्हें "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum" पुस्तक में नोट किया।

अतिरिक्त जैकोबी थीटा फलन^[1] को निम्नलिखित तरीकों से अनंत उत्पादों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

${\displaystyle \vartheta _{00}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1-2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(x;y)=2y^{1/4}\cos(x)\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n}+y^{4n}]}$

ये तीन फलन गणित में नियमित रूप से उपयोग किए जाते हैं और उपरोक्त चार कार्यों से बीजगणितीय रूप से संबंधित हैं।

इन तीन थीटा फलनों का उपयोग करके "sn", "cn" और "dn" फलनों^[2] को भी परिभाषित किया जा सकता है।

इन कार्यों के लिए तथाकथित थीटा शून्य मान (जर्मन भाषा में: Theta-Nullwerte) भी परिभाषित किए गए हैं:

${\displaystyle \vartheta _{00}(0;y)=\vartheta _{00}(y)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }y^{k^{2}}}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(0;y)=\vartheta _{01}(y)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}y^{k^{2}}}$

${\displaystyle \vartheta _{10}(0;y)=\vartheta _{10}(y)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }y^{(k+{\frac {1}{2}})^{2}}}$

यहां दिखाए गए अनंत योग बिल्कुल वही मान देते हैं जो x-मान शून्य के लिए उल्लिखित अनंत उत्पाद हैं।

इस प्रकार मुख्य थीटा फ़ंक्शन को तथाकथित अनुचित इंटीग्रल का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है:

${\displaystyle \vartheta _{00}(v)=1+{\frac {4v{\sqrt {\ln(1/v)}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(1/v)\,x^{2}]\{1-v^{2}\cos[2\ln(1/v)\,x]\}}{1-2v^{2}\cos[2\ln(1/v)\,x]+v^{4}}}\,\mathrm {d} x}$

थीटा उदाहरण ${\displaystyle \theta _{3}({\tfrac {1}{2}})}$ और ${\displaystyle \theta _{3}({\tfrac {1}{3}})}$ प्रदर्शित किए जाएंगे:

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}=1+2\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(2)}}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(2)\,x^{2}]\{16-4\cos[2\ln(2)\,x]\}}{17-8\cos[2\ln(2)\,x]}}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}=2.128936827211877158669\ldots }$

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n^{2}}}}=1+{\frac {4}{3}}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(3)}}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(3)\,x^{2}]\{81-9\cos[2\ln(3)\,x]\}}{82-18\cos[2\ln(3)\,x]}}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}=1.691459681681715341348\ldots }$

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{5}}{\bigr )}=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{5^{n^{2}}}}=1+{\frac {4}{5}}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(5)}}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(5)\,x^{2}]\{625-25\cos[2\ln(5)\,x]\}}{626-50\cos[2\ln(5)\,x]}}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl (}{\frac {1}{5}}{\bigr )}=1.40320102401310720671\ldots }$

थीटा कार्यों के लिए जोड़ प्रमेय इस प्रकार हैं:

${\displaystyle \vartheta _{00}(x_{1}+x_{2};y)\vartheta _{00}(x_{1}-x_{2};y)\vartheta _{00}(y)^{2}=\vartheta _{01}(x_{1};y)^{2}\vartheta _{01}(x_{2};y)^{2}+\vartheta _{10}(x_{1};y)^{2}\vartheta _{10}(x_{2};y)^{2}}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(x_{1}+x_{2};y)\vartheta _{01}(x_{1}-x_{2};y)\vartheta _{01}(y)^{2}=\vartheta _{00}(x_{1};y)^{2}\vartheta _{00}(x_{2};y)^{2}-\vartheta _{10}(x_{1};y)^{2}\vartheta _{10}(x_{2};y)^{2}}$

गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन ने इस पहचान^[3] की खोज की और इसे अपने प्रसिद्ध काम "Modular Equations and Approximations to π" में लिखा:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{2n-1})=(x;x^{2})_{\infty }=2^{1/6}x^{1/24}\vartheta _{10}(x)^{-1/6}\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{1/3}}$

लियोनार्ड ओइलर द्वारा निम्नलिखित उत्पाद का शोध किया गया था:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=(x;x)_{\infty }=2^{-1/6}x^{-1/24}\vartheta _{10}(x)^{1/6}\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{2/3}}$

यदि शर्त "0 < s < 1" लागू होती है, तो निम्न समीकरण मान्य है:

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {2s^{k}}{s^{2k}+1}}=\vartheta _{00}(s)^{2}}$

अण्डाकार नोम फलन की यह परिभाषा है:

${\displaystyle q(\varepsilon )=\exp[-\pi K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})K(\varepsilon )^{-1}]}$

फलन "के" निम्नलिखित अभिन्न द्वारा परिभाषित किया गया है:

${\displaystyle K(r)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-r^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\,\mathrm {d} \varphi }$

${\displaystyle K(r)=\int _{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(z^{2}+1)^{2}-4r^{2}z^{2}}}}\,\mathrm {d} z}$

कुछ फलन मानों की गणना निम्न सूत्र से की जा सकती है:

${\displaystyle \vartheta _{00}[q(\varepsilon )]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}}$

${\displaystyle \vartheta _{01}[q(\varepsilon )]={\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}}$

जैकोबी पहचान इन समीकरणों से उत्पन्न होती है:

${\displaystyle \vartheta _{10}(x)={\sqrt[{4}]{\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}}}$

थीटा फलनों में निम्नलिखित मान^[4] होते हैं:

${\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-\pi )]=\pi ^{1/4}\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-1}}$

${\displaystyle \vartheta _{01}[\exp(-\pi )]=2^{-1/4}\pi ^{1/4}\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-1}}$

${\displaystyle \vartheta _{10}[\exp(-\pi )]=2^{-1/4}\pi ^{1/4}\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-1}}$

${\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=2^{-1/8}\pi ^{1/2}\Gamma ({\tfrac {3}{4}})^{-1/2}\Gamma ({\tfrac {5}{8}})^{-1}}$

${\displaystyle \vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=2^{5/6}3^{-5/8}\pi ^{1/2}\Gamma ({\tfrac {2}{3}})^{-3/2}}$

कई फलन मान निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित पहचान सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

${\displaystyle \vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{2}]=\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\varepsilon )]\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]}$

${\displaystyle \vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{2}]=(1-\varepsilon ^{2})^{1/8}\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]}$

${\displaystyle 27{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{3}]^{8}}{\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{8}}}=18{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{3}]^{4}}{\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{4}}}+8\cos[2\arcsin(\varepsilon )]{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )^{3}]^{2}}{\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}}}+1}$

${\displaystyle 27{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{3}]^{8}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{8}}}=18{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{3}]^{4}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{4}}}+8\sec[2\arctan(\varepsilon )]{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{3}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}+1}$

${\displaystyle {\biggl \{}{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{5}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}5{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{5}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}-1{\biggr \}}^{5}=64\tan[2\arctan(\varepsilon )]^{2}{\frac {\vartheta _{01}[q(\varepsilon )^{5}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}}$

गणना के उदाहरण:

${\displaystyle \exp(-\pi )=q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}$

${\displaystyle \exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )=q({\sqrt {2}}-1)}$

${\displaystyle \exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )=q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]}$

इन मानों को समीकरणों में डालने और फिर उपरोक्त समीकरणों को हल करने से निम्नलिखित मान उत्पन्न होते हैं:

${\displaystyle {\frac {\vartheta _{00}[\exp(-3\pi )]}{\vartheta _{00}[\exp(-\pi )]}}=108^{-1/8}{\sqrt {{\sqrt {3}}+1}}}$

${\displaystyle {\frac {\vartheta _{00}[\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )]}{\vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]}}=3^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}-1}}}$

${\displaystyle {\frac {\vartheta _{00}[\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )]}{\vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]}}=3^{-3/4}({\sqrt[{3}]{2}}+1)}$

${\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-3\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-\pi )]}}=3^{-3/8}{\sqrt {{\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]}}=3^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]}}=108^{-1/4}(2{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt {3}}-1)}$

${\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-5\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-\pi )]}}=5^{-1/2}{\sqrt {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]}}={\tfrac {4}{15}}{\sqrt {10}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh[{\tfrac {1}{3}}{\text{artanh}}({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]+{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {5}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi )}$

${\displaystyle {\frac {\vartheta _{01}[\exp(-5{\sqrt {3}}\,\pi )]}{\vartheta _{01}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]}}={\tfrac {2}{15}}{\sqrt[{3}]{10}}(3-{\sqrt {3}})\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )+{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {15}}\cot({\tfrac {1}{10}}\pi )}$

अण्डाकार नोम और अण्डाकार अभिन्न के बीच संबंध के बारे में पहले बताए गए सूत्र के आधार पर, कुछ अतिरिक्त मान भी कुशलतापूर्वक स्थापित किए जा सकते हैं:

${\displaystyle \vartheta _{00}[q(\varepsilon )]={\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K(\varepsilon ){\biggr ]}^{1/2}}$

अब कुछ उदाहरण दिये जायेंगे:

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {5}}\,\pi ){\bigr ]}={\biggl \langle }{\frac {2}{\pi }}K{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{1/2}}$

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi ){\bigr ]}={\biggl \{}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl [}(2-{\sqrt {3}}\,)({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\,){\bigr ]}{\biggr \}}^{1/2}}$

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi ){\bigr ]}={\biggl \{}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl [}{\frac {1}{8}}{\bigl (}3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}\,{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/2}}$

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi ){\bigr ]}={\biggl \{}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl [}({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/2}}$

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {11}}\,\pi ){\bigr ]}={\biggl \{}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl [}{\frac {1}{16}}{\bigl (}{\sqrt {22}}+3{\sqrt {2}}\,{\bigr )}{\bigl (}{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1{\bigr )}^{4}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/2}}$

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {13}}\,\pi ){\bigr ]}={\biggl \langle }{\frac {2}{\pi }}K{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{1/2}}$

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {14}}\,\pi ){\bigr ]}={\biggl \langle }{\frac {2}{\pi }}K{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arccsc}(8{\sqrt {2}}+11){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{1/2}}$

संज्ञा के परिवर्तनों पर^[5] इन सूत्रों का उपयोग थीटा शून्य मान फ़ंक्शन के लिए किया जाता है:

${\displaystyle \vartheta _{10}(x^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}]}}}$

${\displaystyle \vartheta _{00}(x^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}]}}}$

${\displaystyle \vartheta _{01}(x^{2})={\sqrt {\vartheta _{01}(x)\vartheta _{00}(x)}}}$

जैकोबी पहचान के अनुसार, तीन थीटा शून्य-मूल्य फ़ंक्शन के वर्ग भी वर्ग फ़ंक्शन द्वारा एक आंतरिक फ़ंक्शन पाइथागोरस ट्रिपल के रूप में बनते हैं। इसके अतिरिक्त, निम्नलिखित परिवर्तन लागू होते हैं:

${\displaystyle \vartheta _{00}(x^{4})={\tfrac {1}{2}}\vartheta _{00}(x)+{\tfrac {1}{2}}\vartheta _{01}(x)}$

${\displaystyle 27\,\vartheta _{00}(x^{3})^{8}-18\,\vartheta _{00}(x^{3})^{4}\vartheta _{00}(x)^{4}-\,\vartheta _{00}(x)^{8}=8\,\vartheta _{00}(x^{3})^{2}\vartheta _{00}(x)^{2}[2\,\vartheta _{01}(x)^{4}-\vartheta _{00}(x)^{4}]}$

${\displaystyle 27\,\vartheta _{01}(x^{3})^{8}-18\,\vartheta _{01}(x^{3})^{4}\vartheta _{01}(x)^{4}-\,\vartheta _{01}(x)^{8}=8\,\vartheta _{01}(x^{3})^{2}\vartheta _{01}(x)^{2}[2\,\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}]}$

${\displaystyle [\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{00}(x^{5})^{2}][5\,\vartheta _{00}(x^{5})^{2}-\vartheta _{00}(x)^{2}]^{5}=256\,\vartheta _{00}(x^{5})^{2}\vartheta _{00}(x)^{2}\vartheta _{01}(x)^{4}[\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}]}$

${\displaystyle [\vartheta _{01}(x^{5})^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}][5\,\vartheta _{01}(x^{5})^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}]^{5}=256\,\vartheta _{01}(x^{5})^{2}\vartheta _{01}(x)^{2}\vartheta _{00}(x)^{4}[\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}]}$

ऐसी सर्वसमिकाएँ हैं, जो दीर्घवृत्तीय नोम की तीसरी घात और तीसरे मूल के थीटा मानों को एक दूसरे के संबंध में निर्धारित करती हैं।

${\displaystyle {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/3})^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}}}-{\frac {3\,\vartheta _{00}(x^{3})^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4-4{\biggl [}{\frac {2\,\vartheta _{10}(x)^{2}\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}}$

${\displaystyle {\biggl [}{\frac {3\,\vartheta _{01}(x^{3})^{2}}{\vartheta _{01}(x)^{2}}}-{\frac {\vartheta _{01}(x^{1/3})^{2}}{\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4+4{\biggl [}{\frac {2\,\vartheta _{10}(x)^{2}\vartheta _{00}(x)^{2}}{\vartheta _{01}(x)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}}$

और ऐसी भी पहचानें हैं, जो दीर्घवृत्तीय नोम की पांचवीं शक्ति और पांचवें मूल के थीटा मानों को एक दूसरे के संबंध में निर्धारित करती हैं।

${\displaystyle 2\arctan {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x^{5})\,\vartheta _{00}(x^{1/5})-\vartheta _{00}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x^{1/5})^{2}+5\,\vartheta _{00}(x^{5})^{2}-\vartheta _{00}(x)^{2}-3\,\vartheta _{00}(x^{5})\,\vartheta _{00}(x^{1/5})}}{\biggr ]}+\arctan(2)=}$

${\displaystyle \arctan {\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/5})^{2}}{2\,\vartheta _{00}(x)^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}+\arctan {\biggl [}{\frac {5\,\vartheta _{00}(x^{5})^{2}}{2\,\vartheta _{00}(x)^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}}$

पहले इस्तेमाल की गई जैकोबी फलन पहचान^[6][7] को पूरी तरह से तैयार किया जाएगा:

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl [}q(k){\bigr ]}=\vartheta _{00}{\biggl \{}\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K'(k)}{K(k)}}{\biggr ]}{\biggr \}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp {\biggl [}-n^{2}\pi \,{\frac {K'(k)}{K(k)}}{\biggr ]}={\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K(k){\biggr ]}^{1/2}}$

और दीर्घवृत्तीय मापांक ${\displaystyle k}$ को आंतरिक फ़ंक्शन के रूप में पाइथागोरस पूरक मापांक ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}$ द्वारा प्रतिस्थापित करने पर, यह सूत्र प्राप्त होता है:

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl [}q'(k){\bigr ]}=\vartheta _{00}{\biggl \{}\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K(k)}{K'(k)}}{\biggr ]}{\biggr \}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp {\biggl [}-n^{2}\pi \,{\frac {K(k)}{K'(k)}}{\biggr ]}={\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K'(k){\biggr ]}^{1/2}}$

संख्या सिद्धांत पर आधारित "पॉइसन योग सूत्र" इस ​​प्रकार उभरता है:

${\displaystyle {\frac {\vartheta _{00}{\bigl [}q'(k){\bigr ]}}{\vartheta _{00}{\bigl [}q(k){\bigr ]}}}={\biggl [}{\frac {K'(k)}{K(k)}}{\biggr ]}^{1/2}}$

उल्लिखित अंतिम दो सूत्रों का भागफल सीधे पॉइसन योग सूत्र में परिणत होता है।

परिणाम प्रदर्शित करने का निम्नलिखित तरीका प्रत्येक स्थान पर ''वास्तविक अवधि अनुपात'' दर्शाता है:

${\displaystyle {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \{}\exp {\bigl [}-\pi \,K(k)\div K'(k){\bigr ]}{\bigr \}}}{\vartheta _{00}{\bigl \{}\exp {\bigl [}-\pi \,K'(k)\div K(k){\bigr ]}{\bigr \}}}}={\biggl [}{\frac {K'(k)}{K(k)}}{\biggr ]}^{1/2}}$

अब, अवधि अनुपात को पैरामीटर ${\displaystyle p=K'(k)\div K(k)}$ से प्रतिस्थापित करके, उल्लिखित पॉइसन अनुभवजन्य सूत्र अण्डाकार समाकलों से पूरी तरह मुक्त हो जाता है:

${\displaystyle {\frac {\vartheta _{00}{\bigl [}\exp(-\pi \div p){\bigr ]}}{\vartheta _{00}{\bigl [}\exp(-\pi \times p){\bigr ]}}}={\sqrt {p}}}$

इस प्रकार सूत्र को दीर्घवृत्तीय समाकलनों की सहायता से सिद्ध किया जाता है।

निम्नलिखित गणना उदाहरण सटीक रूप से तैयार किए जाएंगे:

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl [}\exp {\bigl (}-{\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{4}}\,\pi {\bigr )}{\bigr ]}={\sqrt[{6}]{2}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}\exp {\bigl (}-{\sqrt[{3}]{2}}\,\pi {\bigr )}{\bigr ]}}$

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl [}\exp {\bigl (}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{5}]{81}}\,\pi {\bigr )}{\bigr ]}={\sqrt[{10}]{3}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}\exp {\bigl (}-{\sqrt[{5}]{3}}\,\pi {\bigr )}{\bigr ]}}$

${\displaystyle \vartheta _{00}{\bigl [}\exp {\bigl (}-{\frac {1}{5}}{\sqrt[{7}]{15625}}\,\pi {\bigr )}{\bigr ]}={\sqrt[{14}]{5}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}\exp {\bigl (}-{\sqrt[{7}]{5}}\,\pi {\bigr )}{\bigr ]}}$

विषम अंकीय^[8][9] फाइबोनैचि संख्याओं के व्युत्क्रमों का अनंत योग:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{n-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\sum _{a=-\infty }^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{a-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2a-1}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,\vartheta _{10}(\Phi ^{-2})^{2}={\frac {\sqrt {5}}{8}}{\bigl [}\vartheta _{00}(\Phi ^{-1})^{2}-\vartheta _{01}(\Phi ^{-1})^{2}{\bigr ]}}$

इन सूत्रों के लिए ${\displaystyle \Phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ स्वर्णिम संख्या है।

फाइबोनैचि संख्याओं के वर्गों के व्युत्क्रमों का अनंत योग:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}^{2}}}={\frac {5}{24}}{\bigl [}2\vartheta _{10}(\Phi ^{-2})^{4}-\vartheta _{00}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}={\frac {5}{24}}{\bigl [}\vartheta _{00}(\Phi ^{-2})^{4}-2\vartheta _{01}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}}$

विषम अंकीय पेल संख्याओं के व्युत्क्रमों का अनंत योग:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n-1}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\vartheta _{10}{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{2}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigl [}\vartheta _{00}({\sqrt {2}}-1)^{2}-\vartheta _{01}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}}$

योग श्रृंखला जिसका आधार योग सूचकांक के संबंध में स्थिर है और एक घातांक जो योग सूचकांक के संबंध में वर्गाकार है, को हमेशा फ़ंक्शन ϑ₀₀ के प्राथमिक रैखिक संयोजनों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }x^{ak^{2}+bk+c}=\exp {\bigl [}{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\ln(x){\bigr ]}{\bigl [}{\frac {-\pi }{a\ln(x)}}{\bigr ]}^{1/2}\vartheta _{00}{\bigl \{}{\frac {\pi b}{2a}};\exp {\bigl [}{\frac {\pi ^{2}}{a}}\ln(x)^{-1}{\bigr ]}{\bigr \}}}$

संख्या x का मान धनात्मक होना चाहिए.

उदाहरण के लिए, वह अनंत योग निम्नलिखित मान देता है:

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\bigl (}{\frac {7}{11}}{\bigr )}^{5k^{2}+3k+2}={\bigl (}{\frac {7}{11}}{\bigr )}^{31/20}{\bigl (}{\frac {\pi }{5}}{\bigr )}^{1/2}\ln {\bigl (}{\frac {11}{7}}{\bigr )}^{-1/2}\vartheta _{00}{\bigl \{}{\frac {3\pi }{10}};\exp {\bigl [}{\frac {1}{5}}\pi ^{2}\ln {\bigl (}{\frac {7}{11}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\bigr \}}}$

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\bigl (}{\frac {11}{13}}{\bigr )}^{7k^{2}+5k+3}={\bigl (}{\frac {11}{13}}{\bigr )}^{59/28}{\bigl (}{\frac {\pi }{7}}{\bigr )}^{1/2}\ln {\bigl (}{\frac {13}{11}}{\bigr )}^{-1/2}\vartheta _{00}{\bigl \{}{\frac {5\pi }{14}};\exp {\bigl [}{\frac {1}{7}}\pi ^{2}\ln {\bigl (}{\frac {11}{13}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\bigr \}}}$

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\bigl (}{\frac {13}{17}}{\bigr )}^{11k^{2}+7k+5}={\bigl (}{\frac {13}{17}}{\bigr )}^{171/44}{\bigl (}{\frac {\pi }{11}}{\bigr )}^{1/2}\ln {\bigl (}{\frac {17}{13}}{\bigr )}^{-1/2}\vartheta _{00}{\bigl \{}{\frac {7\pi }{22}};\exp {\bigl [}{\frac {1}{11}}\pi ^{2}\ln {\bigl (}{\frac {13}{17}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\bigr \}}}$

थीटा शून्य मान फलनों^[10] के व्युत्पन्न इस प्रकार हैं:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{10}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\vartheta _{10}(x)\vartheta _{00}(x)^{2}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{10}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}}}{\biggr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{00}(x)=\vartheta _{00}(x){\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{01}(x)=\vartheta _{01}(x){\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}}$

दूसरे प्रकार के पूर्ण अण्डाकार अभिन्न अंग की यह परिभाषा है:

${\displaystyle E(r)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-r^{2}\sin(\varphi )^{2}}}\,\mathrm {d} \varphi }$

${\displaystyle E(r)=\int _{0}^{1}{\frac {2{\sqrt {(z^{2}+1)^{2}-4r^{2}z^{2}}}}{(z^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} z}$

यहां उल्लिखित तीन थीटा फ़ंक्शंस में से दो से भागफल के व्युत्पन्न हमेशा उन तीन फ़ंक्शंस के साथ तर्कसंगत संबंध रखते हैं:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\vartheta _{10}(x)}{\vartheta _{00}(x)}}={\frac {\vartheta _{10}(x)\vartheta _{01}(x)^{4}}{4x\,\vartheta _{00}(x)}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\vartheta _{10}(x)}{\vartheta _{01}(x)}}={\frac {\vartheta _{10}(x)\vartheta _{00}(x)^{4}}{4x\,\vartheta _{01}(x)}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\vartheta _{00}(x)}{\vartheta _{01}(x)}}={\frac {\vartheta _{00}(x)^{5}-\vartheta _{00}(x)\vartheta _{01}(x)^{4}}{4x\,\vartheta _{01}(x)}}}$

ये समाकलन^[11] थीटा शून्य-मूल्य फलन ϑ₀₀(x), ϑ₀₁(x) और ϑ₁₀(x) के लिए मान्य हैं:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\vartheta _{00}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{k^{2}+1}}=\pi \coth(\pi )\approx 3{,}153348}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\vartheta _{01}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}+1}}=\pi \,\operatorname {csch} (\pi )\approx 0{,}272029}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\vartheta _{10}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {4}{(2k+1)^{2}+4}}=\pi \tanh(\pi )\approx 3{,}129881}$

दिखाए गए अंतिम परिणाम कॉची के सामान्य सूत्रों पर आधारित हैं।

निम्नलिखित रूप में, पांचवीं घात वाले समीकरणों^[12][13] को निम्नलिखित एल्गोरिथम^[14][15] का उपयोग करके सभी वास्तविक मूल्यों^[16] ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ के लिए हल किया जा सकता है:

ब्रिंग-जेरार्ड रूप में पांचवीं घात वाले समीकरण

${\displaystyle x^{5}+5\,x=4\,c}$

${\displaystyle Q=q{\bigl [}(2\,c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}})^{-1/2}({\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c){\bigr ]}}$

${\displaystyle u={\frac {2\,\vartheta _{00}(Q^{5})\,\vartheta _{00}(Q^{1/5})-2\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}{\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}+5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}-4\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}}}$

${\displaystyle x={\frac {c\,u\,(5\,u^{2}-10\,u+4)}{5\,u^{2}-6\,u+2}}}$