क्रिस्टल बॉल फलन

क्रिस्टल बॉल फलन प्रायिकता घनत्व फलन है जो उच्च ऊर्जा भौतिकी में अधिक ऊर्जा क्षय वाली विभिन्न मॉडल गणनाओं में काम में लिया जाता है। इसका नामकरण क्रिस्टल बॉल सहभागी प्रयोग के सम्मान में किया गया। यह एक तरफ गाउस फलन का रूप रखता है और अन्य दिशा में एक देहली ऊर्जा के नीचे घात-ह्रास नियम के अनुरूप निम्न-बिन्दु अन्तिम भाग रखता है। यह फलन और इसका प्रथम अवलकज दोनों सतत होते हैं।

क्रिस्टल बॉल फलन को निम्नलिखित रूप में लिखा जाता है:

${\displaystyle f(x;\alpha ,n,{\bar {x}},\sigma )=N\cdot {\begin{cases}\exp(-{\frac {(x-{\bar {x}})^{2}}{2\sigma ^{2}}}),&{\mbox{for }}{\frac {x-{\bar {x}}}{\sigma }}>-\alpha \\A\cdot (B-{\frac {x-{\bar {x}}}{\sigma }})^{-n},&{\mbox{for }}{\frac {x-{\bar {x}}}{\sigma }}\leqslant -\alpha \end{cases}}}$

जहाँ

${\displaystyle A=\left({\frac {n}{\left|\alpha \right|}}\right)^{n}\cdot \exp \left(-{\frac {\left|\alpha \right|^{2}}{2}}\right)}$,

${\displaystyle B={\frac {n}{\left|\alpha \right|}}-\left|\alpha \right|}$,

${\displaystyle N={\frac {1}{\sigma (C+D)}}}$,

${\displaystyle C={\frac {n}{\left|\alpha \right|}}\cdot {\frac {1}{n-1}}\cdot \exp \left(-{\frac {\left|\alpha \right|^{2}}{2}}\right)}$,

${\displaystyle D={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(1+\operatorname {erf} \left({\frac {\left|\alpha \right|}{\sqrt {2}}}\right)\right)}$.

${\displaystyle N}$ (स्कवारनिकी 1986) प्रसामान्यकारी गुणक है और ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle {\bar {x}}}$ एवं ${\displaystyle \sigma }$ आसंजन प्राचल हैं। erf यहाँ त्रुटि फलन को व्यक्त करता है।

• जे॰ ई॰ गाइजर, Appendix-F Charmonium Spectroscopy from Radiative Decays of the J/Psi and Psi-Prime, Ph.D. Thesis, SLAC-आर-255 (1982). (यह एक 205-पृष्ठ का पीडीएफ दस्तावेज़ है जिसके पृष्ठ संख्या 178 पर फलन परिभाषित है।)
• एम॰ जे॰ ओरेग्लिया, A Study of the Reactions psi prime --> gamma gamma psi, Ph.D. Thesis, SLAC-आर-236 (1980), परिशिष्ट डी
• टी॰ स्कवारनिकी, A study of the radiative CASCADE transitions between the Upsilon-Prime and Upsilon resonances, Ph.D Thesis, DESY F31-86-02(1986), परिशिष्ट ई.