कलन का मूलभूत प्रमेय

कलन का मौलिक प्रमेय एक प्रमेय है जो एक फलन के अवकलन की अवधारणा को उसके समाकलन की अवधारणा के साथ जोड़ता है। दो प्रक्रियाएँ एक स्थिर मान के अतिरिक्त एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं जो इस बात पर निर्भर करता है कि कोई क्षेत्र की गणना कहाँ से शुरू करता है।

प्रमेय के दो भाग हैं। प्रथम भाग एक प्रत्यवकलज के अवकलज से सम्बन्धित है, जबकि द्वितीय भाग प्रत्यवकलज और निश्चित समाकलज के बीच के सम्बन्ध से सम्बन्धित है।

मान लीजिए कि बन्द अन्तराल ${\textstyle [a,b]}$ पर f एक सन्तत वास्तविक-मान फलन है तथा ${\textstyle F(x)}$ निम्नोल्लेखित क्षेत्रफल फलन द्वारा परिभाषित है:

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(x)\,dx}$

तब सभी ${\textstyle x\in [a,b]}$ हेतु ${\textstyle F'(x)=f(x)}$।

मान लीजिए कि बन्द अन्तराल ${\displaystyle [a,b]}$ पर ƒ एक सन्तत फलन है और ƒ का प्रत्यवकलज F है। तब

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(x)_{a}^{b}=F(b)-F(a)}$।

• James Gregory's Euclidean Proof of the Fundamental Theorem of Calculus at Convergence
• Isaac Barrow's proof of the Fundamental Theorem of Calculus