अपोलोनियस का प्रमेय

भूमिति में, अपोलोनियस का प्रमेय एक त्रिभुज की मध्यिका की दैर्घ्य को उसके भुजाओं की दैर्घ्य से सम्बन्धित प्रमेय है।

विशेषतः, किसी भी ${\displaystyle \triangle ABC}$ में यदि ${\displaystyle AD}$ एक माध्यिका है, तो

${\displaystyle 2(|AB|^{2}+|AC|^{2})=|BC|^{2}+4|AD|^{2}.}$

यह स्टीवर्ट के प्रमेय का एक विशेष स्थिति है। एक समद्विबाहु त्रिभुज हेतु ${\displaystyle |AB|=|AC|,}$ मध्यिका ${\displaystyle AD,}$ ${\displaystyle BC}$ के लम्बवत् है और त्रिभुज हेतु यह प्रमेय ${\displaystyle \triangle ADB}$ या ${\displaystyle \triangle ADC}$ हेतु बौधायन प्रमेय में बदल जाता है। इस तथ्य से कि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर को समद्विभाजित करते हैं, प्रमेय समान्तर चतुर्भुज नियम के समतुल्य है।

प्रमेय का नाम प्राचीन यूनानी गणितज्ञ अपोलोनियस के नाम पर रखा गया है।