e (गणितीय नियतांक)

गणित में e एक प्रागनुभविक संख्या है। इसका मान लगभग २.७१८२८ है। इसको यदाकदा 'आयलर संख्या' (Euler's number) भी कहते हैं। e एक महत्त्वपूर्ण गणितीय नियतांक है। प्राकृतिक लघुगणक का आधार यही संख्या ली जाती है।^[1]

e को निम्नलिखित दो व्यंजकों द्वारा पारिभाषित किया जाता है-

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+\cdots }$

e एक प्रागनुभविक अपरिमेय संख्या है।

इक्सपोनेन्सियल फलन e^x इस कारण भी महत्त्वपूर्ण है क्योंकि यह एकमात्र फलन है जिसका अवकलज (differential) भी स्वयं यही फलन है। (अतः इसका प्रति-अवकलज भी यही है)

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\int _{-\infty }^{x}e^{t}\,dt\\[8pt]&=\int _{-\infty }^{0}e^{t}\,dt+\int _{0}^{x}e^{t}\,dt\\[8pt]&=1+\int _{0}^{x}e^{t}\,dt.\end{aligned}}}$

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\,\mathrm {sin} (x),}$

इस सूत्र में x = π रखने पर आयलर सर्वसमिका प्राप्त होती है-

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0;}$

${\displaystyle e-1=[1;0,1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,\ldots ]}$