सीमा तुलना परीक्षण

गणित में, सीमांत तुलना परीक्षण (limit comparison test) अनन्त श्रेणी के अभिसरण की एक विधि है।

माना कि ${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$ और ${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$ दो श्रेणियाँ हैं जहाँ सभी ${\displaystyle n}$ के लिए ${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$ है।

तब यदि ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$ जहाँ ${\displaystyle 0<c<\infty }$ है तब दोनो श्रेणी या तो अभिसारी होंगी या अपसारी।

चूँकि ${\displaystyle \lim {\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$ और हम जानते हैं कि सभी ${\displaystyle \varepsilon }$ के लिए एक पूर्णांक ${\displaystyle n_{0}}$ इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है कि ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ हमें ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon }$ प्राप्त होता है अथवा

${\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon }$

${\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon }$

${\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$

प्रत्येक ${\displaystyle c>0}$ के लिए ${\displaystyle \varepsilon }$ का मान स्वैच्छिक रूप से छोटा चयनित किया जा सकता है जहाँ ${\displaystyle c-\varepsilon }$ धनात्मक प्राप्त हो। अतः ${\displaystyle b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}}$ हो और प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण से यदि ${\displaystyle a_{n}}$ अभिसारी है तो ${\displaystyle b_{n}}$ भी अभिसारी होगी।

इसी प्रकार ${\displaystyle a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$, अतः यदि ${\displaystyle b_{n}}$ अभिसारी है तब प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण से ${\displaystyle a_{n}}$ भी अभिसारी होगी।

अतः या तो दोनों श्रेणियाँ अभिसारी होंगी अथवा अपसारी।

हम ज्ञात करना चाहते हैं कि श्रेणी ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}}$ अभिसारी है। इससे तुलना हम अभिसारी श्रेणी ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ से करते हैं।

चूँकि ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0}$ अतः हम प्राप्त करते हैं कि मूल श्रेणी भी अभिसारी है।

• अभिसरण परीक्षण
• प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण

• Pauls Online Notes on Comparison Test