समान्तर माध्य और गुणोत्तर माध्य सम्बन्धी असमिका

किन्हीं दो या अधिक धनात्मक संख्याओं का समान्तर माध्य उनके गुणोत्तर माध्य के बराबर या उससे बड़ा होता है। ये दोनों माध्य केवल तभी बराबर होते हैं जब दी गयीं सभी संख्याएं समान हों। अर्थात ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ आदि धनात्मक संख्याएं हों तो,

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.}$

उदाहरण

२ और ८ का समान्तर माध्य = (२+८)/२=५

२ और ८ सा गुणोत्तर माध्य = (२ x ८) का वर्गमूल = १६ का वर्गमूल = ४

स्पष्टः, समान्तर माध्य (५) > गुणोत्तर माध्य (४)

यदि ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\geq 0}$ तथा ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}>0}$ और ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}}$ :

${\displaystyle {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}}\leq {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\ldots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }},}$

${\displaystyle {\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}\geqslant {\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\geqslant {\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \cdots \cdot a_{n}}}\geqslant {\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}.}$

• माध्य