सदिश बीजगणित

सदिश बीजगणित (वेक्टर अल्जेब्रा) के अन्दर्गत सदिश राशियों के योग, गुणन आदि का अध्ययन किया जाता है।

यदि त्रिविम यूक्लिडीय स्पेस में एक सदिश ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {a} }}}$ = a₁e₁ + a₂e₂+ a₃e₃ है (जहाँ e₁, e₂, e₃ लम्ब ईकाई सदिश हैं), तो सदिश का परिमाण निम्नलिखित रूप से ज्ञात किया जायेगा-

${\displaystyle \left\|{\overrightarrow {\mathbf {a} }}\right\|={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}}}}$

इसके अतिरिक्त किसी सदिश राशि से उसएए के अदिश गुणनफल के परिमाण का वर्गमूल लेने पर उस सदिश का मान निकाला जा सकता है>।

${\displaystyle \left\|{\overrightarrow {\mathbf {a} }}\right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}}$

माना कि ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {a} }}}$=a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃ एबं ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {b} }}}$=b₁e₁ + b₂e₂ + b₃e₃, है जहाँ e₁, e₂, e₃ लम्ब ईकाई सदिश हैं।

तो ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {a} }}}$ एबं ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {b} }}}$ का योगफल निम्नलिखित होगा-

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {a} }}+{\overrightarrow {\mathbf {b} }}=(a_{1}+b_{1})\mathbf {e_{1}} +(a_{2}+b_{2})\mathbf {e_{2}} +(a_{3}+b_{3})\mathbf {e_{3}} }$

यदि

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {a} }}}$=a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃ तथा

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {b} }}}$=b₁e₁ + b₂e₂ + b₃e₃ हो तो-

सदिश ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {a} }}}$ और ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {b} }}}$ का अन्तर निम्नलिखित होगा-

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {a} }}-{\overrightarrow {\mathbf {b} }}=(a_{1}-b_{1})\mathbf {e_{1}} +(a_{2}-b_{2})\mathbf {e_{2}} +(a_{3}-b_{3})\mathbf {e_{3}} }$

किसी सदिशों को दो या दो से अधिक सदिशों के योग के रूप में निरूपित किया जा सकता है। स्पष्टतः ऐसा अनन्त तरीकों से किया जा सकता है। किन्तु किसी दिये हुए सदिश को किन्हीं दो दिशाओं में वियोजन मात्र एक प्रकार से ही किया जा सकता है। प्रायः दे दो दिशाएं परस्पर लम्बवत होतीं हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

एक सदिश को एक अदिश से गुणा किया जाय तो परिणाम एक सदिश होगा जो पूर्वोक्त सदिश की दिशा में होगा। उदाहरण के लिये किसी सदिश ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {a} }}}$ को यदि एक अदिश r द्बारा गुणा किया जाय तो गुणनफल निम्नलिखित होगा-

${\displaystyle r{\overrightarrow {\mathbf {a} }}=(ra_{1})\mathbf {e_{1}} +(ra_{2})\mathbf {e_{2}} +(ra_{3})\mathbf {e_{3}} }$

पुनः दो सदिशों का अदिश या डॉट गुणनफल एक अदिश राशि होती है।दो सदिशों का डॉट गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) निम्नलिखित प्रकार से पारिभाषित है-

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathbf {a} }}\cdot {\overrightarrow {\mathbf {b} }}=\langle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\rangle \cdot \langle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\rangle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{n}b_{n}}$

किसी त्रिभुज की दो संलग्न भुजायें क्रम से दो सदिशों को निरूपित करें (परिणाम और दिशा दोनों ) तो त्रिभुज की तीसरी भुजा विपरीत क्रम में इन दो सदिशों का योग (परिणाम और दिशा दोनों में) निरूपित करेगी।

दो से अधिक सदिशों को इस प्रकार सजाया जाय कि प्रथम सदिश के शीर्ष पर दूसरे सदिश का पैर हो और दूसरे के सिर पर तीसरे का पैर हो तो इन सब सदिशों का योग प्रथम सदिश के पाद को अन्तिम सदिश के शीर्ष से मिलाने वाले सदिश के बराबर होगा।

${\displaystyle {\overrightarrow {A}}+{\overrightarrow {B}}={\overrightarrow {B}}+{\overrightarrow {A}}}$

${\displaystyle m({\overrightarrow {A}}+{\overrightarrow {B}})=m{\overrightarrow {A}}+m{\overrightarrow {B}}}$

${\displaystyle ({\overrightarrow {A}}+{\overrightarrow {B}})+{\overrightarrow {C}}={\overrightarrow {A}}+({\overrightarrow {B}}+{\overrightarrow {C}})}$

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