संख्यात्मक अवकलन

संख्यात्मक विश्लेषण (numerical analysis) में संख्यात्मक अवकलन (numerical differentiation) से आशय उन कलनविधियों से है जिनका उपयोग करके किसी बिन्दु पर अवकलज निकाला जा सके, यदि उस फलन के संख्यात्मक मान कई बिन्दुओं पर दिए हों।

किसी फलन ${\displaystyle f(x)}$ के अवकलज की परिभाषा यह है-

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

इसमें यदि h का मान बहुत छोटा हो (तथा h > 0) तो,

दाएँ तरफ से:

${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})\approx {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$

बाएँ तरफ से:

${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})\approx {\frac {f(x_{0})-f(x_{0}-h)}{h}}}$

उपरोक्त दोनों अवकलजों का औसत मान अधिक उपयुक्त होगा, अतः

${\displaystyle f^{\prime }(x_{0})\approx {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}}}$

${\displaystyle f^{\prime \prime }(x_{0})\approx {\frac {f(x_{0}+h)-2f(x_{0})+f(x_{0}-h)}{h^{2}}}}$

नीचे संख्यात्मक अवकलन करने के लिए उपयुक्त कुछ सूत्र दिए गए हैं। इसमें h का मान नियत होना चाहिए। अवशिष्ट पद भी दिए गए हैं।

${\displaystyle {r=1,N=1}}$ (प्रथम अवकलज):

${\displaystyle f^{'}({x_{o}})=({f_{1}-f_{0}})/h-h{f^{''}(\xi )}/2}$

${\displaystyle f^{'}({x_{1}})=({f_{1}-f_{0}})/h+h{f^{''}(\xi )}/2}$

${\displaystyle {r=1,N=2}}$

${\displaystyle f^{'}({x_{o}})=(-3{f_{0}}+4{f_{1}}-{f_{2}})/2{h}+h^{2}{f^{'''}(\xi )}/3}$

${\displaystyle f^{'}({x_{1}})=({f_{2}}-{f_{0}})/2{h}-h^{2}{f^{'''}(\xi )}/6}$

${\displaystyle f^{'}({x_{2}})=({f_{0}}-4{f_{1}}+3{f_{2}})/2{h}+h^{2}{f^{'''}(\xi )}/3}$

${\displaystyle {r=2,N=2}}$ (द्वितीय अवकलज):

${\displaystyle f^{''}({x_{0}})=({f_{0}}-2{f_{1}}+{f_{2}})/{h^{2}}-h{f^{'''}(\xi )}}$

${\displaystyle f^{''}({x_{1}})=({f_{0}}-2{f_{1}}+{f_{2}})/{h^{2}}-h^{2}{f^{(4)}(\xi )}/12}$

${\displaystyle f^{''}({x_{2}})=({f_{0}}-2{f_{1}}+{f_{2}})/{h^{2}}+h{f^{'''}(\xi )}}$

${\displaystyle {r=2,N=3}}$

${\displaystyle f^{''}({x_{0}})=(2{f_{0}}-5{f_{1}}+4{f_{2}}-{f_{3}})/{h^{2}}+11{h^{2}}{f^{(4)}(\xi )}/12}$

${\displaystyle f^{''}({x_{1}})=({f_{0}}-2{f_{1}}+{f_{2}})/{h^{2}}-h^{2}{f^{(4)}(\xi )}/12}$

${\displaystyle f^{''}({x_{2}})=({f_{1}}-2{f_{2}}+{f_{3}})/{h^{2}}-h^{2}{f^{(4)}(\xi )}/12}$

${\displaystyle f^{''}({x_{3}})=(-{f_{0}}+4{f_{1}}-5{f_{2}}+2{f_{3}})/{h^{2}}+11{h^{2}}{f^{(4)}(\xi )}/12}$

• संख्यात्मक समाकलन (numerical integration)