संकलन

संख्याओं के किसी क्रम को जोड़ने की संक्रिया संकलन (Summation) कहलाती है। इसका परिणाम योग (sum) या कुलयोग (total) कहलाती है।

यह निम्नलिखित तरीके से परिभाषित है-

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}.}$

एक उदाहरण-

${\displaystyle \sum _{k=2}^{6}k^{2}=2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=90.}$

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)}$, जहाँ C एक स्थिरांक है

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)+\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)+g(n)\right]}$

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)-\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)-g(n)\right]}$

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)}$

${\displaystyle \sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(n)}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i}\right)\left(\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}b_{j}\right)=\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i}b_{j}}$

${\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(2n)+\sum _{n=0}^{t}f(2n+1)=\sum _{n=0}^{2t+1}f(n)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}\sum _{i=0}^{z-1}f(z\cdot n+i)=\sum _{n=0}^{z\cdot t+z-1}f(n)}$

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\ln f(n)=\ln \prod _{n=s}^{t}f(n)}$

${\displaystyle c^{\left[\sum _{n=s}^{t}f(n)\right]}=\prod _{n=s}^{t}c^{f(n)}}$

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}1=n-m+1}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}}$ (देखें हरात्मक संख्या)

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}i={\frac {(n-m+1)(n+m)}{2}}}$ (देखें समांतर श्रेणी)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}}$ (समांतर श्रेणी का विशेष मामला)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left[\sum _{i=1}^{n}i\right]^{2}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {n^{5}}{5}}+{\frac {n^{4}}{2}}+{\frac {n^{3}}{3}}-{\frac {n}{30}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}}$ जहाँ ${\displaystyle B_{k}}$ एक बर्नौली संख्या को दर्शाता है।

निम्नलिखित सूत्र ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}}$ किसी भी प्राकृतिक संख्या मान पर एक श्रेणी शुरू करने के लिए सामान्यीकृत के जोड़तोड़ हैं (i.e., ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$):

${\displaystyle \left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}=\sum _{i=m}^{n}(i^{3}-im(m-1))}$

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}+m(m-1)\sum _{i=m}^{n}i}$

नीचे के योगों में x एक स्थिरांक है जो 1 . के बराबर नहीं है

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n-1}x^{i}={\frac {x^{m}-x^{n}}{1-x}}}$ (m < n; देखें गुणोत्तर श्रेणी)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}x^{i}={\frac {1-x^{n}}{1-x}}}$ (1 से शुरू होने वाली गुणोत्तर श्रेणी)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ix^{i}={\frac {x-nx^{n}+(n-1)x^{n+1}}{(1-x)^{2}}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}i2^{i}=2+(n-2)2^{n}}$ (विशेष स्थिति जब x = 2)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {i}{2^{i}}}=2-{\frac {n+1}{2^{n-1}}}}$ (विशेष स्थिति जब x = 1/2)

द्विपद गुणांकों (ठोस गणित का एक पूरा अध्याय केवल बुनियादी तकनीकों के लिए समर्पित है) को शामिल करने वाली बहुत सारी योग सर्वसमिकाएँ मौजूद हैं। कुछ सबसे बुनियादी निम्नलिखित हैं।

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i{n \choose i}=n2^{n-1}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor }$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{i \choose k}={n \choose k+1}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{(n-i)}b^{i}=(a+b)^{n}}$, द्विपद प्रमेय

निम्नलिखित उपयोगी सन्निकटन है,(थीटा प्रतीक का उपयोग करके):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}=\Theta (n^{c+1})}$ −1 से अधिक वास्तविक c के लिए

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=\Theta (\log n)}$ (देखें हरात्मक संख्या)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}=\Theta (c^{n})}$ वास्तविक c के लिए 1 से बड़ा

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}=\Theta (n\cdot \log(n)^{c})}$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक c के लिए

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}=\Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक c, d के लिए

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}=\Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक के लिए b> 1, c, d

• Derivation of Polynomials to Express the Sum of Natural Numbers with Exponents