शृंखला नियम

कैलकुलस में दो या अधिक फलनों के संयुक्त फलन का अवकलज निकालने के लिये शृंखला नियम (chain rule) का उपयोग किया जाता है। समाकलन में, प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन, इस विधि की उल्टी (counterpart) विधि है।

${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.}$

इसी को लैब्नीज की संकेतन विधि में इस प्रकार लिखा जाता है-

${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}.}$

• उदाहरण 1: फलन ${\displaystyle f(x)=(x^{2}+1)^{3}}$ पर ध्यान दें। यहाँ ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ जहाँ ${\displaystyle g(x)=x^{2}+1}$ तथा ${\displaystyle h(g(x))=(g(x))^{3}.}$ अतः,

${\displaystyle f'(x)\,}$	${\displaystyle =3(x^{2}+1)^{2}(2x)\,}$
	${\displaystyle =6x(x^{2}+1)^{2}.\,}$

• उदाहरण 2: अब निम्नलिखित त्रिकोणमितीय फलन लेते हैं:

${\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}),\,}$

यहाँ ${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ जहाँ ${\displaystyle h(x)=\sin x}$ और ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ है। अब शृंखला नियम का उपयोग करने पर,

${\displaystyle f'(x)=2x\cos(x^{2})\,}$

क्योंकि ${\displaystyle h'(g(x))=\cos(x^{2})}$ और ${\displaystyle g'(x)=2x}$.