भिन्नता का विश्लेषण

सांख्यिकी में भिन्नता का विश्लेषण (एनोवा) सांख्यिकीय मॉडलों का एक संग्रह है, जिसमें अवलोकित भिन्नता व्याख्यात्मक चर के कारण कई हिस्सों में बाँट दी जाती है। अपने सरलतम रूप में एनोवा इस चीज़ का सांख्यिकी परीक्षण करता है कि क्या कई समूहों का माध्य बराबर होता है और इस तरह से ये स्टुडेंट्स टू सैम्पल टी टेस्ट या परीक्षणों को दो से अधिक समूह के लिए सामान्यीकृत कर देता है।

इस तरह मॉडलों के तीन अवधारण वर्ग इस प्रकार हैं:

1. अचल प्रभाव मॉडल में माना जाता है कि आंकड़े सामान्य आबादी से आए हैं जो सिर्फ उनके माध्य में भिन्न हो सकते हैं। (मॉडल 1)
2. क्रम-रहित प्रभाव मॉडल के अनुसार आंकड़े अलग अलग आबादी के पदानुक्रम का विवरण देते हैं जिनमें भिन्नता पदानुक्रम द्वारा नियंत्रित होती है। (मॉडल 2)
3. मिश्रित प्रभाव मॉडल उन मॉडलों का विवरण देता है जहाँ अचल और क्रम-रहित दोनों प्रभाव उपस्थित होते हैं। (मॉडल 3)

व्यवहार में, कई प्रकार के एनोवा मौजूद हैं जो प्रबंधों की संख्या और प्रयोग के विषय पर लागू किये गए तरीकों पर निर्भर करता है।

• एक पथीय एनोवा दो या अधिक स्वतंत्र समूहों के बीच अंतर निकालने के लिए किये जाने वाले परीक्षण में प्रयोग होता है। विशिष्ट तौर पर, तथापि, एक तरह से एनोवा कम से कम तीन समूहों के भीच भिन्नता निकलने के लिए होने वाले परीक्षण में प्रयोग किया जाता है, क्यों कि दो समूह के परीक्षण टी-परीक्षण द्वारा किये जा सकते हैं (गोसेट,1908). जब तुलना करने के लिए केवल दो माध्य हों, तो टी परीक्षण और एफ परीक्षण समकक्ष होते हैं और एनोवा और ${\displaystyle t}$टी के बीच सम्बन्ध इस प्रकार दिया जाता है- ${\displaystyle F=t^{2}}$F = t^2
• पुनरावृत्त मापन हेतु द्विपथीय एनोवा तब प्रयोग किया जाता है जब विषयों का पुनरावृत्त मापन किया जाना हो: इसका मतलब है कि हर प्रबंध के लिए समान विषयों का प्रयोग किया जाता है। ध्यान दें कि इस पद्धति पर कैरीओवर यानि दूसरी किसी जगह पहले आ चुकी चीज़ों का दुबारा प्रयोग किया जा सकता है।
• पुनरावृत्त मापन हेतु क्रमगुणित एनोवा तब प्रयोग किया जाता है जब प्रयोगकर्ता दो या अधिक प्रबंध चरों के प्रभाव का अध्ययन करना चाहता है। प्रयोग होने वाले क्रमगुणित एनोवा का सबसे आम प्रकार है ${\displaystyle 2^{2}}$2^2 (जिसे दो बटे दो पढ़ा जाता है) डिजाईन, जहाँ दो स्वतंत्र चर होते हैं और हर चार के दो स्तर या विशिष्ट मान होते हैं। जबकि ${\displaystyle 2^{k}}$2^k क्रमगुणित डिजाइन और भिन्नात्मक क्रमगुणित डिजाइन के विश्लेषण के लिए एनोवा का ऐसा प्रयोग 'भ्रामक है और ख़ास विवेकपूर्ण नहीं लगता'; इसकी बजाय प्रभाव को मानक त्रुटी से विभाजित करने पर मिले मान को टी-टेबल में प्रयोग करने की सलाह दी जाती है।^[1] क्रमगुणित एनोवा बहुस्तरीय भी हो सकते हैं जैसे कि,${\displaystyle 3^{3}}$ आदि या उच्च श्रेणी के जैसे कि 2 × 2 × 2 आदि लेकिन ऊंची संख्याओं वाले गुणकों वाले विश्लेषण कभी-कभार ही हाथ से किये जाते हैं क्योंकि इनमें गणना बेहद लम्बी होती है। बहरहाल, काफी आम आंकड़ों का परिचय विश्लेषणात्मक सॉफ्टवेयर के बाद से, उच्च आदेश डिजाइन और विश्लेषण का उपयोग बन गया है। हालाकि, सांख्यिकी विश्लेषक सोफ्टवेयर के आने के बाद से ऊंची श्रेणी वाली डिजाइनों और विश्लेषणों का प्रयोग काफी आम हो गया है।
• मिश्रित डिजाइन एनोवा. जब कोई विषयों का पुनरावृत मापन करने के लिए दो या अधिक स्वतंत्र समूहों का परिक्षण करना चाहता है तो वो एक क्रम गुणित मिश्रित डिजाइन के एनोवा का प्रयोग कर सकता है जिसमें एक गुणक विषय चरों के बीच की संख्या और दूसरा विषय चरों के भीतर की कोई संख्या होती है। इस मिश्रित प्रभाव मॉडल का एक प्रकार है।
• भिन्नता के बहुरूपी विश्लेषण (मेनोवा) का प्रयोग वहाँ किया जाता है जहाँ एक से अधिक आश्रित चर मौजूद हो।

भिन्नता के विश्लेषण का अचल-प्रभाव मॉडल ऐसी स्थितियों में लागू होता है जिनमें प्रयोगकर्ता प्रयोग के विषय पर कई प्रबंधों को लगाकर ये देखता है कि चरों के मान में परिवर्तन उस पर क्या प्रभाव डालता है. यह प्रयोगकर्ता को चरों के मान में विभिन्न प्रबंधों द्वारा होने वाले परिवर्तन के कारण उनकी कुल जनसँख्या पर पड़ने वाले प्रभाव की सीमा का अनुमान लगाने का मौका देता है

क्रम-रहित प्रभाव मॉडल का उपयोग तब किया जाता है जब प्रबंध तय नहीं होते. ऐसा तब होता है जब विभिन्न प्रबंध (जिन्हें गुणक स्तर के नाम से भी जाना जाता है) काफी बड़ी जनसँख्या के नमूने के तौर पर लिए गए होते हैं। क्योंकि प्रबंध स्वयं क्रम-रहित चर होते हैं, इसलिए प्रबंधों का निरूपण करने वाली कुछ मान्यताएं और पद्धतियाँ एनोवा मॉडल 1 से अलग होती हैं।

ज़्यादातर क्रम-रहित प्रभाव या मिश्रित प्रभाव मॉडल नमूने के तौर पर लिए गए विशिष्ट गुणकों को लेकर कोई परिणाम देने से जुड़े नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, एक बड़े विनिर्माण संयंत्र के बारे में बात करें जहां कई मशीने एक ही उत्पाद बनाने के लिए कार्य करती हैं। इस संयंत्र का अध्ययन कर रहे सांख्यिकीविद् को इस बात में बहुत कम रुचि होती है कि वह तीन विशेष मशीन की एक दूसरे से तुलना करे. बल्कि, ये जानना ज्यादा रूचिकर है कि सभी मशीनों द्वारा मिलने वाला कुल परिणाम क्या है। जैसे कि परिवर्तनशीलता और माध्य.

• स्थितियों की अनाधीनता - यह डिजाइन की ज़रुरत है।
• सामान्यता - शेष का वितरण सामान्य है।
• परिवर्तनशीलता की समानता (या "समरूपता"), होमोसीडीस्तिसिटी- समूहों के आंकड़ों में भिन्नता समान ही होनी चाहिए।

परिवर्तनशीलता की समरूपता के लिए लीवेन का परिक्षण विशेष रूप से होमोसीडीस्तिसिटी का पता लगाने के लिए किया जाता है। सामान्यता की पुष्टि के लिए कोल्मोगोरोव -स्मिरनोव या शापिरो -विल्क परीक्षण इस्तेमाल किया जा सकता है। कुछ लेखकों का दावा है कि अगर सामान्यता से विचलन (लिंडमैन, 1974) हैं तो एफ परीक्षण विश्वसनीय नहीं है। जबकि अन्य लोगों का दावा है कि एफ परीक्षणकाफी पुष्ट है (फर्ग्यूसन और टकाने, 2005, pp. 261–2). कृस्कल-वालिस परीक्षण एक अप्राचलिक विकल्प है जो सामान्यता की धारणा पर निर्भर नहीं करता.

एक साथ मिलकर ये एक आम धारणा बनाते हैं कि अचल प्रभाव मॉडल के लिए त्रुटिया मुक्त रूप से, समान रूप से और सामान्य रूप से वितरित होती हैं या:

${\displaystyle \varepsilon \thicksim N(0,\sigma ^{2}).\,}$

इसकी मूलभूत तकनीक है वर्गों (जिसे लघु रूप में ${\displaystyle SS}$ कहा जाता है) के कुल योग का ऐसे घटकों में विभाजन जो मॉडल में प्रयोग होने वाले प्रभावों से सम्बद्ध हो। उदाहरण के लिए, हम अलग-अलग स्तरों पर एक ही प्रकार के प्रबंध वाले सरलीकृत एनोवा को प्रदर्शित कर रहे हैं।

${\displaystyle SS_{\hbox{Total}}=SS_{\hbox{Error}}+SS_{\hbox{Treatments}}\,\!}$

अतः, स्वतंत्रता की घात (लघु रूप ${\displaystyle df}$) को उसी तरीके से विभाजित किया जा सकता है और शाई-वर्ग वितरण में उल्लिखित किया जा सकता है जिसमें वर्गों का संयुक्त योग वर्णित होता है।

${\displaystyle df_{\hbox{Total}}=df_{\hbox{Error}}+df_{\hbox{Treatments}}\,\!}$

[[वर्गों के योग में अनुरूपता के अभाव{ /0}]]को भी देखें.

एफ परीक्षण कुल विचलन के गुणकों में तुलना के लिए प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक पथीय, या एकल गुणक एनोवा में, सांख्यिकीय महत्व एफ परीक्षण के आंकड़े की तुलना द्वारा जाना जाता है।

${\displaystyle F={\dfrac {\mbox{variance of the group means}}{\mbox{mean of the within-group variances}}}}$

${\displaystyle F^{*}={\frac {\mbox{MSTR}}{\mbox{MSE}}}\,}$

जहाँ:

${\displaystyle {\mbox{MSTR}}={\frac {\mbox{SSTR}}{I-1}}}$I = प्रबंधों की संख्या

और

${\displaystyle {\mbox{MSE}}={\frac {\mbox{SSE}}{n_{T}-I}}}$' = स्थितियों की कुल संख्या

एफ - वितरण पर जब I-1, स्वतंत्रता की घात n_T-I ऍफ़ वितरण का प्रयोग प्राकृतिक है क्योंकि शाई-वर्ग वितरण वाले वर्गों के योग के दो माध्यों का भागफल ही परिक्षण का सांख्यिकीय है।

जैसा कि 1981 में पहली बार कोनोवर और ईमान ने सुझाव दिया, कई मामलों में, जब आंकड़े एनोवा की मान्यताओं के अनुरूप नहीं होते तो प्रत्येक वास्तविक सांख्यिकीय मान को उसके दर्जे से प्रतिस्थापित किया जा सकता है जहाँ दर्जे में परिवर्तित आंकड़े में सबसे छोटे के लिए 1 और सबसे ज्यादा के लिए N का मान दिया जा सकता है। "जहाँ कोई समकक्ष अप्रचालिक पद्धति विकसित नहीं गई है जैसे कि द्विपथीय डिजाइन हेतु, अरूपंतरित एनोवा की तुलना में दर्जों का रूपांतरण ऐसे परीक्षण के रूप में सामने आता है जो गैर सामान्यता के लिए ज्यादा पुष्ट होते हैं और बहिर्वासी और अनियत परिवर्तनशीलता के प्रति ज्यादा प्रतिरोधी होते हैं।" (हेल्सेल एंड हिर्स्च, 2002, पृष्ठ 177). लेकिन सीमैन एट अल. (1994) ने देखा कि कोनोवर और ईमान (1981) के द्वारा दिया गया दर्जा परिवर्तन क्रमगुणित डिजाइनों के प्रभावों के बीच अन्तः क्रिया के परीक्षण हेतु उचित नहीं है क्योंकि यह टाईप I त्रुटी (अल्फा त्रुटि) को और बढ़ा सकता है। इसके अलावा, अगर दोनों मुख्य गुणक महत्वपूर्ण होते हैं तो अन्तः क्रिया का पता लगाने की शक्ति बहुत कम हो जाती है।

रैंक के एक संस्करण-परिवर्तन 'quantile सामान्य' में एक और परिवर्तन रैंकों के लिए ऐसी है कि जिसके परिणामस्वरूप मूल्यों कुछ परिभाषित वितरण एक निर्दिष्ट मतलब और विचरण के साथ (कई बार एक सामान्य वितरण लागू किया जाता है). इसके अलावा के विश्लेषण क्वान्ताईल-नोर्मलाइज्ड डाटा तो है कि वितरण को महत्व मूल्यों की गणना मान सकते हैं।

• डब्ल्यू. जे. कोनोवर और आर.एल. ईमान, (1981). प्रचालिक और अप्रचालिक सांख्यिकीय के बीच एक पुल की तरह दर्जों में रूपांतरण. अमेरिकन स्टेटीसटिकन 35, 124-129. [2] [3]
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• जे.डब्ल्यू. सीमन, एस.सी. वाल्स, एस.ई. वाइड और आर.जी. जैगर (1994). कैवेट एम्प्टर: रैंक ट्रांसफोर्म मेथोड्स एंड इंटरएक्शन. ट्रेंड्स ईकोलोजी. ईवोल., 9, 261-263.

एनोवा के संदर्भ में ही प्रभाव के कई मानक मापन प्रयोग किये जाते हैं जिनके ज़रिये भविष्यवक्ता या उनके समूह और निर्भर चरों के बीच सम्बन्ध की डिग्री का वर्णन किया जाता है। प्रभाव आकार अनुमान शोधकर्ताओं को दे दिए जाते हैं ताकि वो हर शाखा में अध्ययन के परिणामों की तुलना कर सकें. द्विचर (एनोवा उदाहरण के लिए) और बहुचर (मोनोवा, कैनोवा, बहु विविक्तकर विश्लेषण) सांख्यिकी विश्लेषण में रिपोर्ट किये जाने वाले आम प्रभाव आकार अनुमानों में शामिल हैं- ईता-वर्ग, आंशिक ईता-वर्ग, ओमेगा और अंतरसहसम्बन्ध (स्ट्रेंग, 2009).

² η (ईटा-वर्ग): ईटा-वर्ग अन्य पूर्व वादियों पर नियंत्रण रखते हुए निर्भर चर में पूर्व वादी द्वारा वर्णित भिन्नता के अनुपात को बताता है। ईटा वर्ग जनसँख्या में मॉडल द्वारा वर्णित भिन्नता या परिवर्तनशीलता का एक पक्षपाती अनुमानक है (यह केवल नमूने में प्रभाव के आकार का अनुमान लगता है). औसतन यह जनसँख्या में वर्णित भिन्नता को ज्यादा आंकता है। जैसे जैसे नमूने का आकार बढ़ता है वैसे वैसे सानुमान में आने वाला एकपक्षीय प्रभाव कम हो जाता है। जबकि यह प्रबंध द्वारा वर्णित जनसँख्या में भिन्नता के अनुपात का आसानी से गणना देने वाला अनुमानक है। ध्यान दें कि सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर (जैसे एसपीएसएस) आंशिक ईटा वर्ग को गलत तरीके से भ्रामक शीर्षक 'ईटा वर्ग" के रूप में दिखाता है।

${\displaystyle {\eta }^{2}={\frac {SS_{treatment}}{SS_{total}}}}$

आंशिक ² (आंशिक ईटा-वर्ग): आंशिक ईटा-वर्ग वर्णित करता है,'गुणक को रोप्य कुल विचलन के अनुपात को, कुल अत्रुटिपूर्ण विचलन में से अन्य गुणकों (छोड़कर) को हटाकर' (पियर्स, ब्लॉक और अग्विनिस, 2004, पी. 918). आंशिक ईटा वर्ग सामान्य रूप से ईटा वर्ग से अधिक होता है (सिवाय सरल एक घटक मॉडल के).

${\displaystyle {Partial\eta }^{2}={\frac {SS_{treatment}}{SS_{treatment}+SS_{error}}}}$

इन मानदंडों के कई भेद भी मौजूद हैं

आमतौर पर प्रभाव आकार के लिए स्वीकार्य प्रतिगमन मानदंड आता है (कोहेन, 1992, 1988) से : 0.20 न्यूनतम हल है, (लेकिन सामाजिक विज्ञान शोध में ही महत्वपूर्ण है); 0.50 मध्यम प्रभाव है; 0.80 से अधिक या उसके बराबर कुछ भी वृहद प्रभाव आकार माना जाता है (कपेल एंड विकेंस, 2004; कोहेन, 1992).

क्योंकि कोहेन (1988) से लेकर अब तक प्रभाव आकार की ये सामान्य व्याख्या बार-बार बिना किसी परिवर्तन या समकालीन प्रायोगिक शोध के लिए वैधता पर किसी तरह की किसी टिपण्णी के बिना दोहराई जाती रही है, इसीलिए मनोवैज्ञानिक/व्यवहार अध्ययन की सीमा के बाहर जाने के बाद इस पर कई प्रश्न उठते हैं और इससे भी ज्यादा प्रश्न तब उठते हैं जब कोहेन द्वारा बताई गई सीमाओं की पूरी समझ देखी नहीं जाती. नोट: विशिष्ट आंशिक ईटा वर्ग मान का बड़े या छोटे माध्यम हेतु 'अंगूठे के नियम' के रूप में प्रयोग करने से बचना चाहिए।

यही नहीं, कुछ शाखाओं में अंगूठे के नियम के कुछ विकल्प भी सामने आये हैं: लघु= 0.01, मध्यम = 0.06; वृहद = 0.14 (किटलर, मेनार्ड एंड फिलिप्स, 2007) .

ओमेगा वर्ग ओमेगा वर्ग पूर्ववादी चर द्वारा दिए गए जनसँख्या में विचरण के अनुमान का अपेक्षाकृत निष्पक्ष अनुमान देता है। यह ईटा वर्ग की तुलना में क्रमरहित त्रुटी के बिना आंकलन करता है। जो कि वृहद आकार हेतु आश्चर्यजनक रूप से पक्षपात पूर्ण होता है।

ओमेगा वर्ग के लिए गणना प्रयोगात्मक डिजाइन के आधार पर अलग-अलग होती हैं। एक निश्चित प्रयोगात्मक डिजाइन के लिए (जिसमें श्रेणिया स्पष्ट रूप से सेट होती हैं), ओमेगा वर्ग की गणना इस प्रकार की जाती है:[2]

${\displaystyle {\hat {\omega }}^{2}={\frac {SS_{treat}-df_{treat}MS_{error}}{SS_{total}+MS_{error}}}}$

कोहेन का f

शक्ति विश्लेषण की गणना करते समय प्रायः प्रभाव आकार का ये मापक सामने आता है। धारणा है कि यह वर्णित भिन्नता या विचलन प्रति अवर्णित विचलन के वर्गमूल को प्रदर्शित करता है।

संदर्भ

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एनोवा में एक महत्वपूर्ण प्रभाव अक्सर के साथ आता है एक या एक से अलग अनुवर्ती परीक्षण अधिक है। एनोवा में सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण प्रभाव को प्रायः एक या अधिक अनुगामी परीक्षणों के साथ दोबारा जांचा जाता है। ऐसा ये आकलन करने के लिए किया जाता है कि कौन से समूह अन्य समूहों से अलग हैं या फिर अन्य कई केन्द्रित परिकल्पनाओं को जांचने के लिए भी. अनुगामी परीक्षण अक्सर इस आधार पर पहचाने जाते हैं कि वो पूर्वनियोजित (पहले से सोचे हुए) हैं या पोस्ट होक या बाद में तय किये गए। पूर्व नियोजित परीक्षण आंकड़े देखने के पहले किये जाते हैं और पोस्ट होक या बाद में सोचे गए परीक्षण आंकड़े देखने के बाद किये जाते हैं। पोस्ट होक परीक्षण जैसे कि टूकी परीक्षणसबसे आम तौर पर हर समूह के माध्यों की तुलना करता है और इसमें टाईप I त्रुटी को नियंत्रित करने के कुछ तरीके शामिल होते हैं। तुलना, जो सबसे आम तौर पर पूर्व नियोजित होती है, सरल या जटिल हो सकती है। सरल तुलना में एक समूह के माध्य की तुलना दुसरे समूह के माध्य से कि जाती है। जटिल तुलना में आमतौर पर समूहों के दो सेट की तुलना की जाती है जहां एक सेट में दो या अधिक समूहों होते है (जैसे, समूह ए, बी और सी के औसत समूह माध्य की तुलना समूह डी के साथ करें). तुलना द्वारा रुझानों के परीक्षणों को भी देखा जा सकता है, जैसे की रैखिक और द्विघात सम्बन्ध, जब कि स्वतंत्र चर में कुछ क्रमागत स्तर भी शामिल हों.

शक्ति विश्लेषण अक्सर एनोवा के संदर्भ में लागू किया जाता है ताकि यदि हम जनसँख्या में एक निश्चित एनोवा डिजाइन, नमूने के आकर और अल्फ़ा स्तर की परिकल्पना करें तो नल परिकल्पना के सफल निराकरण की संभावना का आकलन लगाया जा सके। नल परिकल्पना का निराकरण करने के लिए आवश्यक नमूने के आकार का निर्धारण करके शक्ति विश्लेषण अध्ययन डिजाइन में मदद कर सकता है।

पहले प्रयोग में, समूह एक को वोदका, समूह बी को जिन सी को एक प्लासेबो दी गयी है। फिर सभी समूहों का एक स्मृति कार्य के लिए परीक्षण जाता है। विभिन्न प्रबंधों (जो है, वोदका, जिन और प्लासेबो) का प्रभाव जानने के लिए एक पथीय एनोवा का प्रयोग किया जा सकता है।

दुसरे प्रयोग में, समूह ए को वोदका दी गयी और एक स्मृति कार्य में उनकी परीक्षा ली गयी। उसी समूह को पांच दिन का अवकाश देकर उन्हें फिर जिन देकर वही परीक्षा दोबारा ली गई। यही प्रक्रिया प्लासेबो के लिए भी दोहराई जाती है। पुनरावृत्त मापन हेतु एकपथीय एनोवा का प्रयोग वोदका और प्लासेबो के प्रभाव की तुलना करने के लिए किया जा सकता है।

अपेक्षाओं के प्रभाव को पता लगाने के तीसरे परीक्षण में, विषयों को चार क्रमहीन समूहों में बांटा जाता है।

1. वोदका की अपेक्षा करने वाले-वोदका प्राप्त करने वाले
2. वोदका की अपेक्षा करने वाले-प्लासेबो प्राप्त करने वाले
3. प्लासेबो की अपेक्षा करने वाले-वोदका प्राप्त करने वाले
4. प्लासेबो की अपेक्षा करने वाले-प्लासेबो प्राप्त करने वाले (आखिरी समूह को नियंत्रण समूह के रूप में प्रयोग किया जाता है)

इसके बाद प्रत्येक समूह का एक स्मृति कार्य पर परीक्षण किया जाता है। इस डिजाइन के लाभ यह हैं कि एकाधिक चर का अलग अलग परीक्षण करने की बजाय एक ही समय में उनका परीक्षण किया जा सकता है। साथ ही, प्रयोग ये निर्धारित कर सकते हैं कि क्या एक चर अन्य चर को प्रभावित करता है (जिसे अंतःक्रिया प्रभाव के रूप में जाना जाता है). एक क्रम गुणक एनोवा (2 × 2) इस बात के प्रभाव का आकलन कर सकता है कि वोदका या प्लासेबो दोनों की अपेक्षा और वास्तव में उनके मिलने पर क्या होता है।

रोनाल्ड फिशर ने सबसे पहले 1918 में अपने शोधपत्र कोरिलेशन बिटवीन रिलेटिव्स ऑन द सपोज़िशन ऑफ़ मेनडेलियन इन्हेरिटेंस में भिन्नता या परिवर्तनशीलता का प्रयोग किया।^[3] भिन्नता के विश्लेषण पर उनका पहला आवेदन 1921 में प्रकाशित हुआ था।^[4] विचरण के विश्लेषण से व्यापक रूप से अनुसंधान श्रमिकों के लिए है 1925 में फिशर की किताब स्टेटीसटिकल मेथड फॉर रीसर्च वर्कर्स में शामिल होने के बाद भिन्नता के विश्लेषण को काफी पहचान मिली।

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1. ↑ Box, Hunter and Hunter. Statistics for experimenters. Wiley. पृ॰ 188 "Misuse of the ANOVA for ${\displaystyle 2^{k}}$ factorial experiments".
2. ↑ [10] ^ [1] Archived 2009-09-01 at the वेबैक मशीन
3. ↑ [12] ^http://www.library.adelaide.edu.au/digitised/fisher/9.pdf Archived 2005-12-13 at the वेबैक मशीन
4. ↑ [13] ^ फसल विविधता के अध्ययन.I. ब्रोडबैल्क जर्नल ऑफ़ एग्रीकल्चर साईंस से आवरित अन्न की पैदावार की परीक्षा. 11, 107-135 http://www.library.adelaide.edu.au/digitised/fisher/15.pdf Archived 2001-06-12 at the वेबैक मशीन] कृषि विज्ञान, 11, 107-135 http://www.library.adelaide.edu.au/digitised/fisher/15.pdf Archived 2001-06-12 at the वेबैक मशीन के Broadbalk जर्नल से तैयार अनाज की पैदावार की परीक्षा मैं]

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• एसओसीआर एनोवा गतिविधि और इंटरैक्टिव ऐपलेट.
• ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय के मनोविज्ञान के छात्रों के लिए तैयार किया गया एक एनोवा शिक्षा कार्यक्रम
• तीन प्रबंध गुणकों तक के सभी एनोवा और एन्कोवा मॉडल के उदाहरण, जिनमें शामिल हैं क्रमरहित ब्लाक, विभाजित खंड, पुनरावृत मापन और लातिनी वर्ग.
• एनआईएसटी/एसईएम्एटीईसीएच सांख्यिकीय पद्धतियों की ई-पुस्तिका, खंड 7.4.३: 'क्या सभी माध्य बराबर हैं?'

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