भास्कर प्रथम का ज्या सन्निकटन सूत्र

भारत के महान गणितज्ञ भास्कर प्रथम ने अपने 'महाभास्करीय' नामक ग्रंथ में त्रिकोणमितीय फलन ज्या य (Sin x) का मान निकालने का एक परिमेय व्यंजक दिया है^[1]। यह पता नहीं है कि भास्कर ने यह सन्निकटन सूत्र कैसे निकाला होगा। किन्तु गणित के अनेकों इतिहासकारों ने अपने-अपने अनुमान लगाये हैं कि भास्कर ने यह सूत्र किस प्रकार निकाला होगा। यह सूत्र सुन्दर एवं सहज है तथा इसके द्वारा Sin x का पर्याप्त शुद्ध मान प्राप्त होता है।^[2]

महाभास्करीय में आठ अध्याय हैं। सातवें अध्याय के श्लोक १७, १८ और १९ ^[3]में उन्होने sin x का सन्निकट मान (approximate value) निकालने का निम्नलिखित सूत्र दिया है-

${\displaystyle \sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}},\qquad (0\leq x\leq {\frac {\pi }{2}})}$

इस सूत्र को उन्होने आर्यभट्ट द्वारा दिया हुआ बताया है। इस सूत्र से प्राप्त ज्या य के मानों का आपेक्षिक त्रुटि 1.9% से कम है। (अधिकतम विचलन ${\displaystyle {\frac {16}{5\pi }}-1\approx 1.859\%}$ जो ${\displaystyle x=0}$ पर होता है।)^[4]

मख्यादिरहितं कर्मं वक्ष्यते तत्समासतः।

चक्रार्धांशकसमूहाद्विधोध्या ये भुजांशकाः॥१७॥

तच्छेषगुणिता द्विष्टाः शोध्याः खाभ्रेषुखाब्धितः।

चतुर्थांशेन शेषस्य द्विष्ठमन्त्य फलं हतम् ॥१८॥

बाहुकोट्योः फलं कृत्स्नं क्रमोत्क्रमगुणस्य वा।

लभ्यते चन्द्रतीक्ष्णांश्वोस्ताराणां वापि तत्त्वतः ॥१९॥

( अनुवाद : प्लोफ्कर (Plofker) ने इसका अनुवाद निम्नलिखित किया है- ^[5]

The degree of the arc, subtracted from the total degrees of

half a circle, multiplied by the remainder from that [subtraction], are

put down twice. [In one place] they are subtracted from sky-cloud-arrow-sky-ocean [40500];

[in] the second place, [divided] by one-fourth of [that] remainder

[and] multiplied by the final result [i.e., the trigonometric radius].”)

• आर्यभट की ज्या सारणी
• माधव की ज्या सारणी

• Bhaskar I's approximation to Sine (RC Gupta , BIT Ranchi)