भास्कराचार्य द्वितीय के सूत्र की उपपत्ति

द्विघात समीकरण के मूल निकालने का सूत्र भारत के प्रसिद्ध गणितज्ञ भास्कराचार्य (भास्कर द्वितीय) ने निकाला था।

इसमें दो चर ${\displaystyle x_{1},x_{2}\,}$ प्राप्त करने हैं जो समीकरण ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ को सन्तुष्ट करते हैं।

यदि ${\displaystyle 2m=b/a}$ तथा ${\displaystyle n=c/a}$ रखते हुए चर को बदल दिया जाय तो यह सरल हो जाता है-

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$

• उपरोक्त अनुसार चर को बदलने पर,

${\displaystyle x^{2}+2mx+n=0\,}$

• दोनों पक्षों में${\displaystyle m^{2}}$ जोड़ने तथा n घटाने पर,

${\displaystyle x^{2}+2mx+m^{2}=m^{2}-n\,}$

• हम देखते हैं कि बांया पक्ष पूर्ण वर्ग है।

${\displaystyle (x+m)^{2}=m^{2}-n\,}$

• दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,

${\displaystyle x+m=\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,}$

• ${\displaystyle m}$ को दाएं पक्ष में ले जाने पर,

${\displaystyle x=-m\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,}$

• सबसे ऊपर किए गये चर परिवर्तन को ${\displaystyle m=b/2a}$ तथा ${\displaystyle n=c/a}$ रखकर हटाने पर,

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\,}$

• अन्ततः मूलों के लिए हमें निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है-

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}$

• निम्नलिखित द्विघात समीकरण लेते हैं-

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}$ con ${\displaystyle a\neq 0}$

• दोनों पक्षों में ${\displaystyle 4a}$ से गुणा करने पर,

${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\,}$

• दोनों तरफ ${\displaystyle b^{2}}$ जोड़ने पर,

${\displaystyle b^{2}+4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=b^{2}\,}$

• या,

${\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac\,}$

• बाएं पक्ष को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखने पर,

${\displaystyle (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac\,}$

• दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,

${\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,}$

• ${\displaystyle b}$ को दाएँ पक्ष में ले जाने पर,

${\displaystyle 2ax=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,}$

• चूंकि ${\displaystyle a\neq 0}$ , दोनों तरफ ${\displaystyle 2a}$ से भाग करने पर,

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,}$

• द्विघात समीकरण
• भास्कराचार्य द्वितीय

• Demostración: Fórmula Resolvente