बीटा फलन

गणित में बीटा फलन (beta function) एक विशेष फलन है जो निम्नलिखित तरीके से परिभाषित किया गया है-

\mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!

${\textrm {Re}}(x)\,$ के लिये, ${\textrm {Re}}(y)>0.\,$

इसे 'प्रथम प्रकार का ऑयलर समाकल' (Euler integral of the first kind) भी कहते हैं। बीटा फलन का अध्ययन ऑयलर (Leonhard Euler) और लाग्रेंज (Adrien-Marie Legendre) ने किया था। बिटा फलन के लिये प्रतीक Β का प्रयोग किया जाता है। ध्यान दें कि यह ग्रीक वर्ण 'बीटा' β का कैपिटल रूप है न कि लैटिन अल्फाबेट b का कैपिटल रूप (अर्थात B) .

गुण

$\mathrm {Re} (x)>0$ तथा $\mathrm {Re} (y)>0$ के लिए बीटा फलन को गामा फलन के अनुसार निम्नलिखित रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है:

B(x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.

प्रमाण

ज्ञात हो कि जब $\mathrm {Re} (x)>0$ तो $\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }u^{x-1}e^{-u}\mathrm {d} u$ । अतः (दूसरी पंक्ति में $u=zt,v=z(1-t)$ रूपांतरण का प्रयोग करते हुए) हम देखते हैं कि

{\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{u=0}^{\infty }\int _{v=0}^{\infty }e^{-(u+v)}u^{x-1}v^{y-1}\mathrm {d} u\mathrm {d} v\\&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-z}z^{x+y-1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm {d} t\mathrm {d} z\\&=\Gamma (x+y)B(x,y)\end{aligned}}

(यहाँ तीसरी पंक्ति में समाकलन के क्रम को बदलने में फुबीनी प्रमेय का प्रयोग निहित है।) चूंकि $\mathrm {Re} (x)>0$ तथा $\mathrm {Re} (y)>0$ के लागू होने पर $\Gamma (x+y)\neq 0$ , उपर्युक्त समीकरण हमारे प्रतिपादन की पुष्टि करता है।

इन्हें भी देखें

बाहरी कड़ियाँ

बीटा फलन का मान ऐच्छिक परिशुद्धि के साथ इन संजाल-स्थलों पर प्राप्त किया जा सकता है:

- वुल्फ्राम फलन संजाल-स्थल: बीटा तथा अपूर्ण बीटा फलनों का मान
- danielsoper.com: अपूर्ण बीटा फलन गणक तथा नियमित अपूर्ण बीटा फलन गणक