फूर्ये रूपान्तर

फूर्ये रूपान्तर (Fourier transform) एक गणितीय रूपान्तर है जो भौतिकी एवं इंजीनियरी में अत्यन्त उपयोगी है। इसका नाम जोसेफ फूर्ये के नाम पर पड़ा है।

फूर्ये रूपान्तर समय ${\displaystyle \scriptstyle f(t)}$ के किसी फलन को एक नए फलन ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {f}}or\scriptstyle F,}$ में रूपन्तरित करता है जिसका अर्गुमेन्ट आवृत्ति (रेडियन प्रति सेकेण्ड) है। इस नए फलन F को फलन f का फूर्ये रूपान्तर या 'फ्रेक्वेंसी स्पेक्ट्रम' कहते हैं।

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{f(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\imath \omega t}f(t)\,\mathrm {d} t}$

	फलन	रूपान्तर	टिप्पणी
1	${\displaystyle af(t)+bg(t)\,}$	${\displaystyle aF(\omega )+bG(\omega )\,}$	रैखिकता
2	${\displaystyle f(t-a)\,}$	${\displaystyle e^{-i\omega a}F(\omega )\,}$	विलम्ब (delay)
3	${\displaystyle e^{iat}f(t)\,}$	${\displaystyle F(\omega -a)\,}$	आवृत्ति शिफ्ट
4	${\displaystyle f(at)\,}$	${\displaystyle |a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)\,}$	यदि ${\displaystyle a}$ बहुत बड़ा हो तो ${\displaystyle f(at)}$ 0 के आसपास केन्द्रित होगा और ${\displaystyle |a|^{-1}F\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$ 'चपटा' हो जाएगा।
5	${\displaystyle {\frac {d^{n}f(t)}{dt^{n}}}\,}$	${\displaystyle (i\omega )^{n}F(\omega )\,}$	Свойство преобразования Фурье от ${\displaystyle n}$
6	${\displaystyle t^{n}f(t)\,}$	${\displaystyle i^{n}{\frac {d^{n}F(\omega )}{d\omega ^{n}}}\,}$
7	${\displaystyle (f*g)(t)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )\,}$	फलन ${\displaystyle f*g}$ का अर्थ है - फलन ${\displaystyle f}$ और ${\displaystyle g}$ का कॉनवोलुशन.
8	${\displaystyle f(t)g(t)\,}$	${\displaystyle {\frac {(F*G)(\omega )}{\sqrt {2\pi }}}\,}$
9	${\displaystyle \delta (t)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,}$	${\displaystyle \delta (t)}$ का अर्थ है - डिरैक डेल्टा फलन
10	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\delta (\omega )\,}$
11	${\displaystyle t^{n}\,}$	${\displaystyle i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )\,}$
12	${\displaystyle e^{iat}\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\delta (\omega -a)\,}$
13	${\displaystyle \cos(at)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}\,}$	1 और 12 का उपसाध्य ; आयलर प्रमेय से - ${\displaystyle \cos(at)={\frac {1}{2}}\left(e^{iat}+e^{-iat}\right)\,}$
14	${\displaystyle \sin(at)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}{\frac {\delta (\omega -a)-\delta (\omega +a)}{2i}}\,}$
15	${\displaystyle \exp(-at^{2})\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\exp \left({\frac {-\omega ^{2}}{4a}}\right)\,}$	इससे स्पष्ट है कि गासियन फलन ${\displaystyle \exp(-t^{2}/2)}$ का फूर्ये रूपान्तर भी गासियन फलन ही होगा।
16	${\displaystyle W{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\mathrm {sinc} (Wt)\,}$	${\displaystyle \mathrm {rect} \left({\frac {\omega }{2W}}\right)\,}$	रेक्टैगुलर फलन अर्थात्, आदर्श लो-पास-फिल्टर
17	${\displaystyle {\frac {1}{t}}\,}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )\,}$	यहाँ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega )\,}$ — sgn फलन (चिह्न फलन) है।
18	${\displaystyle {\frac {1}{t^{n}}}\,}$	${\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )\,}$	17 का सामान्यीकृत रूप
19	${\displaystyle \operatorname {sgn}(t)\,}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}(i\omega )^{-1}\,}$	17 का द्वैत
20	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\theta (t)\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{i\omega }}+\pi \delta (\omega )\,}$	यहाँ ${\displaystyle \theta (t)\,}$ — हेविसाइड फलन है।

• फूर्ये श्रेणी

• The Discrete Fourier Transformation (DFT): Definition and numerical examples — A Matlab tutorial
• The Fourier Transform Tutorial Site (thefouriertransform.com)
• Fourier Series Applet (Tip: drag magnitude or phase dots up or down to change the wave form).
• Stephan Bernsee's FFTlab (Java Applet)
• Stanford Video Course on the Fourier Transform
• हेज़विंक्ल, मिच्येल, संपा॰ (2001), "Fourier transform", एन्साइक्लोपीडिया ऑफ़ मैथमैटिक्स, स्प्रिंगर, आई॰ऍस॰बी॰ऍन॰ 978-1-55608-010-4
• एरिक डब्ल्यू वेइसटीन, मैथवर्ल्ड पर Fourier Transform
• The DFT “à Pied”: Mastering The Fourier Transform in One Day at The DSP Dimension
• An Interactive Flash Tutorial for the Fourier Transform