प्रत्यावर्ती श्रेणी

गणित में प्रत्यावर्ती श्रेणी निम्न प्रकार की अनन्त श्रेणी है:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n}}$ or ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\,a_{n}}$

जहाँ  n के सभी मानों के लिए a_n > 0 है। एक व्यापक पद का चिह्नप्रत्यावर्ती रूप से धनात्मक और ऋणात्मक होता है।

"लियबनिज़ परीक्षण" अथवा प्रत्यावर्ती श्रेणी परीक्षण के रूप में ज्ञात प्रमेय के अनुसार श्रेणी अभिसरीत होगी यदि और केवल यदि पद a_n एकदिष्टतः शून्य की ओर अग्रसर हो।

उपपत्ति: माना कि अनुक्रम ${\displaystyle a_{n}}$ शून्य की ओर अग्रसर है तथा यह एकदिष्टतः ह्रसमान है। यदि ${\displaystyle m}$ विषम है और ${\displaystyle m<n}$, तब हम ${\displaystyle S_{m}-S_{n}<a_{m}}$ निम्न प्रकार ज्ञात करते हैं:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{m}-S_{n}&=\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{aligned}}}$

चूँकि ${\displaystyle a_{n}}$ एकदिष्टतः ह्रसमान है अतः पद ${\displaystyle -(a_{m}-a_{m+1})}$ ऋणात्मक है। अतः अन्त में हमें ${\displaystyle S_{m}-S_{n}\leq a_{m}}$ असमता प्राप्त होती है। इसी प्रकार यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि ${\displaystyle -a_{m}\leq S_{m}-S_{n}}$ है। चूँकि ${\displaystyle a_{m}}$ शुन्य (${\displaystyle 0}$) की ओर अग्रसर है, कॉशी समीकरण के अनुसार आंशिक संकलन ${\displaystyle S_{m}}$ प्राप्त होता है अर्थात श्रेणी अभिसरित होती है।

• एरिक डब्ल्यू वेइसटीन, मैथवर्ल्ड पर प्रत्यावर्ती श्रेणी