प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

गणित में त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलनों को प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (inverse trigonometric functions) कहते हैं। इनके डोमेन समुचित रूप से सीमित करके पारिभाषित किये गये हैं। इन्हें sin⁻¹, cos⁻¹ आदि के रूप में निरूपित करते हैं और 'साइन इन्वर्स', 'कॉस इन्वर्स' आदि बोलते हैं।

• ${\displaystyle \operatorname {arcsin} \ x=y}$ होगा, यदि ${\displaystyle \operatorname {sin} \ y=x}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccos} \ x=y}$ होगा, यदि ${\displaystyle \operatorname {cos} \ y=x}$
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=y}$ होगा, यदि ${\displaystyle \operatorname {tg} \ y=x}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} \ x=y}$ होगा, यदि ${\displaystyle \operatorname {ctg} \ y=x}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcsec} \ x=y}$ होगा, यदि ${\displaystyle \operatorname {sec} \ y=x}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccsc} \ x=y}$ होगा, यदि ${\displaystyle \operatorname {csc} \ y=x}$

उदाहरण:

• ${\displaystyle \operatorname {arcsin} \ 0=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcsin} \ 0.5={\frac {\pi }{6}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcsin} \ 1={\frac {\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccos} \ 0={\frac {\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccos} \ 0.5={\frac {\pi }{3}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arccos} (-1)=\pi }$
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} \ 0=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {arctg} \ 1={\frac {\pi }{4}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} \ 0={\frac {\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle \operatorname {arcctg} \ 1={\frac {\pi }{4}}}$

चूँकि कोई भी त्रिकोणमितीय फलन एकैकी (one-to-one) नहीं है, इनके प्रतिलोम फलन तभी सम्भव होंगे यदि इनके डोमेन सीमित रखे जांय।

निम्नांकित सारणी में मुख्य प्रतिलोमों का विवरण दिया गया है-

यदि x को समिश्र संख्या होने की छूट हो तो y का रेंज केवल इसके वास्तविक भाग (real part) पर ही लागू होगा।

Complementary angles:

${\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x}$

${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x}$

${\displaystyle \operatorname {arccsc} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x}$

Negative arguments:

${\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\!}$

${\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x\!}$

${\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x\!}$

${\displaystyle \operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!}$

${\displaystyle \operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x\!}$

${\displaystyle \operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arccsc} x\!}$

Reciprocal arguments:

${\displaystyle \arccos(1/x)\,=\operatorname {arcsec} x\,}$

${\displaystyle \arcsin(1/x)\,=\operatorname {arccsc} x\,}$

${\displaystyle \arctan(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x>0\,}$

${\displaystyle \arctan(1/x)=-{\tfrac {1}{2}}\pi -\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,{\text{ if }}x<0\,}$

${\displaystyle \operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {1}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\arctan x,{\text{ if }}x>0\,}$

${\displaystyle \operatorname {arccot}(1/x)={\tfrac {3}{2}}\pi -\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,{\text{ if }}x<0\,}$

${\displaystyle \operatorname {arcsec}(1/x)=\arccos x\,}$

${\displaystyle \operatorname {arccsc}(1/x)=\arcsin x\,}$

If you only have a fragment of a sine table:

${\displaystyle \arccos x=\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},{\text{ if }}0\leq x\leq 1}$

${\displaystyle \arctan x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$

Whenever the square root of a complex number is used here, we choose the root with the positive real part (or positive imaginary part if the square was negative real).

From the half-angle formula ${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}}$, we get:

${\displaystyle \arcsin x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}}$

${\displaystyle \arccos x=2\arctan {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}},{\text{ if }}-1<x\leq +1}$

${\displaystyle \arctan x=2\arctan {\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}}$

${\displaystyle \sin(\arccos x)=\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\displaystyle \sin(\arctan x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

${\displaystyle \cos(\arctan x)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

${\displaystyle \tan(\arcsin x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle \tan(\arccos x)={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$

निम्नलिखित में k कोई पूर्णांक है।

${\displaystyle \sin(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\arcsin(x)+2k\pi {\text{ or }}y=\pi -\arcsin(x)+2k\pi }$

${\displaystyle \cos(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\arccos(x)+2k\pi {\text{ or }}y=2\pi -\arccos(x)+2k\pi }$

${\displaystyle \tan(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\arctan(x)+k\pi }$

${\displaystyle \cot(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arccot}(x)+k\pi }$

${\displaystyle \sec(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arcsec}(x)+2k\pi {\text{ or }}y=2\pi -\operatorname {arcsec}(x)+2k\pi }$

${\displaystyle \csc(y)=x\ \Leftrightarrow \ y=\operatorname {arccsc}(x)+2k\pi {\text{ or }}y=\pi -\operatorname {arccsc}(x)+2k\pi }$

• एरिक डब्ल्यू वेइसटीन, मैथवर्ल्ड पर Inverse Trigonometric Functions
• एरिक डब्ल्यू वेइसटीन, मैथवर्ल्ड पर Inverse Tangent