परिमित अवयव विधि

गणित में परिमित अवयव विधि (finite element method या FEM) बाउण्ड्री वैल्यू समस्याओं के सन्निकट हल प्राप्त करने की एक संख्यात्मक तकनीक है। यह विधि वैरिएशनल विधि का उपयोग करके एक त्रुटि फलन को न्यूनीकृत करती है जिससे स्थायी (stable) हल प्राप्त होता है। जिस प्रकार छोटी-छोटी सीधी रेखाओं को जोड़कर एक बड़ा वृत्त बनाने की कल्पना की जा सकती है उसी प्रकार FEM में बड़े आयतन या बड़े क्षेत्रफल को छोटे-छोटे टुकड़ों (finite elements) में बाँट दिया जाता है और इन परिमित अववयों के लिए समस्या से सम्बन्धित समीकरण (जैसे बलों के संतुलन के समीकरण, ऊष्मा के समीकरण आदि) लिखे जाते हैं। इन सभी समीकरणों (जिनकी संख्या प्रायः बहुत अधिक होती है) को एकसाथ (simultaneously) हल किया जाता है।

परिमित अवयव विधि द्वारा आजकल अनेकों क्षेत्रों की समस्याओं का हल निकाला जाता है, जैसे - ढाँचों का स्थायित्व, वस्तुओं के अन्दर ताप का वितरण, विद्युत क्षेत्र का वितरण, चुम्बकीय क्षेत्र का वितरण, द्रवों का प्रवाह आदि।

FEM mesh created by an analyst prior to finding a solution to a magnetic problem using FEM software. Colours indicate that the analyst has set material properties for each zone, in this case a conducting wire coil in orange; a ferromagnetic component (perhaps iron) in light blue; and air in grey. Although the geometry may seem simple, it would be very challenging to calculate the magnetic field for this setup without FEM software, using equations alone.		FEM solution to the problem at left, involving a cylindrically shaped magnetic shield. The ferromagnetic cylindrical part is shielding the area inside the cylinder by diverting the magnetic field created by the coil (rectangular area on the right). The color represents the amplitude of the magnetic flux density, as indicated by the scale in the inset legend, red being high amplitude. The area inside the cylinder is low amplitude (dark blue, with widely spaced lines of magnetic flux), which suggests that the shield is performing as it was designed to.

परिमित तत्व विधि (एफईएम) इंजीनियरिंग और गणितीय भौतिकी की समस्याओं को हल करने के लिए एक संख्यात्मक विधि है। इसे परिमित तत्व विश्लेषण (एफईए) भी कहा जाता है। ब्याज की विशिष्ट समस्या क्षेत्रों में संरचनात्मक विश्लेषण, गर्मी हस्तांतरण, द्रव प्रवाह, बड़े पैमाने पर परिवहन, और विद्युत चुम्बकीय क्षमता शामिल हैं। इन समस्याओं का विश्लेषणात्मक समाधान आम तौर पर आंशिक अंतर समीकरणों के लिए सीमा मूल्य समस्याओं का समाधान की आवश्यकता होती है। बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली में समस्या का परिमित तत्व विधि तैयार करने का परिणाम है। इस विधि ने डोमेन पर असतत अंकों की संख्या में अज्ञात के अनुमानित मूल्यों को प्राप्त किया है। [1] समस्या को हल करने के लिए, यह एक बड़ी समस्या को छोटे, सरल भागों में विभाजित करता है जिन्हें परिमित तत्व कहा जाता है। इन सममित तत्वों के मॉडल को सरल समीकरणों को तब समीकरणों की एक बड़ी प्रणाली में इकट्ठा किया जाता है जो पूरी समस्या को मॉडल बनाती है। एफईएम तब एक संबंधित त्रुटि फ़ंक्शन को कम करके विभिन्न समाधानों के कलन से भिन्नतात्मक तरीकों का उपयोग करता है।

एक संपूर्ण डोमेन के सरल भागों में उपविभाग में कई फायदे हैं: [2]

   जटिल ज्यामिति का सटीक प्रतिनिधित्व
   असमान सामग्री गुणों का समावेश
   कुल समाधान का आसान प्रतिनिधित्व
   स्थानीय प्रभावों पर कब्जा

विधि का एक विशिष्ट काम (1) में समस्या के डोमेन को उपडोमेन के संग्रह में विभाजित करते हैं, प्रत्येक उपडोमेन के साथ मूल समीकरण के तत्व समीकरणों के एक समूह द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है, उसके बाद (2) क्रमबद्ध तत्व समीकरणों के सभी सेटों को पुन: संयोजन किया जाता है अंतिम गणना के लिए समीकरणों की वैश्विक प्रणाली में समीकरणों की वैश्विक प्रणाली ने समाधान तकनीकों को ज्ञात किया है, और एक संख्यात्मक उत्तर प्राप्त करने के लिए मूल समस्या के प्रारंभिक मूल्यों से गणना की जा सकती है।

ऊपर के पहले चरण में, तत्व समीकरण सरल समीकरण होते हैं जो मूल रूप से मूल जटिल समीकरणों का अनुमान लगाते हैं, जहां मूल समीकरण अक्सर आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) होते हैं। इस प्रक्रिया में सन्निकटन की व्याख्या के लिए, फेम को आमतौर पर गैलेकिन विधि के विशेष मामले के रूप में पेश किया जाता है। गणितीय भाषा में प्रक्रिया, अवशिष्ट और वजन कार्यों के आंतरिक उत्पाद का अभिन्न अंग बनाना और शून्य के अभिन्न अंग को स्थापित करना है। सरल शब्दों में, यह एक प्रक्रिया है जो पीडीई में परीक्षण कार्यों को फिटिंग द्वारा सन्निकटन की त्रुटि को कम करता है। अवशिष्ट परीक्षण कार्यों की वजह से त्रुटि होती है, और वजन कार्य बहुपक्षीय सन्निकटन फ़ंक्शन होते हैं जो अवशिष्ट परियोजना करते हैं। प्रक्रिया पीडीई से सभी स्थानिक डेरिवेटिव को समाप्त करती है, इस प्रकार स्थानीय रूप से पीडीई स्थानीयकरण के साथ

   स्थिर राज्य समस्याओं के लिए बीजीय समीकरण का एक समूह,
   क्षणिक समस्याओं के लिए साधारण अंतर समीकरण का एक सेट

ये समीकरण सेट तत्व समीकरण हैं। वे रेखीय हैं यदि अंतर्निहित पीडीई रैखिक है, और इसके विपरीत। बीजीय समीकरण निर्धारित करता है कि स्थिर राज्य समस्याओं में उत्पन्न संख्यात्मक रैखिक बीजगणित विधियों का उपयोग करके हल किया जाता है, जबकि सामान्य अंतर समीकरण सेट जो क्षणिक समस्याओं में उत्पन्न होता है, संख्यात्मक एकीकरण द्वारा हल किया जाता है, जैसे कि यूलर की विधि या रेज-कट्टा विधि।

उपरोक्त चरण (2) में, समीकरणों की एक वैश्विक प्रणाली तत्वों के समीकरणों से उपडोमेन के स्थानीय नोड्स से डोमेन के वैश्विक नोड्स के निर्देशांक के परिवर्तन के माध्यम से उत्पन्न होती है। इस स्थानिक परिवर्तन में संदर्भ निर्देशांक प्रणाली के संबंध में लागू उचित उन्मुखीकरण समायोजन शामिल हैं। इस प्रक्रिया को प्रायः उप डोमेन से उत्पन्न समन्वय डेटा का उपयोग करके FEM सॉफ्टवेयर द्वारा किया जाता है। एफईएम अपने व्यावहारिक अनुप्रयोग से सबसे अच्छा समझा जाता है, जिसे परिमित तत्व विश्लेषण (एफईए) कहा जाता है। इंजीनियरिंग में आवेदन के रूप में एफईए इंजीनियरिंग विश्लेषण करने के लिए एक कम्प्यूटेशनल टूल है। इसमें छोटे तत्वों में एक जटिल समस्या को विभाजित करने के लिए मेष पीढ़ी तकनीकों के उपयोग के साथ-साथ फेम एल्गोरिदम के साथ कोडित सॉफ़्टवेयर प्रोग्राम का उपयोग भी शामिल है। एफईए को लागू करने में, जटिल समस्या आम तौर पर अंतर्निहित भौतिक विज्ञान जैसे यूलर-बर्नोली बीम समीकरण, गर्मी समीकरण या नेवीयर-स्टोक्स समीकरण या तो पीडीई या अभिन्न समीकरणों में व्यक्त की जाती है, जबकि विभाजित छोटे तत्व जटिल समस्या भौतिक व्यवस्था के विभिन्न क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करती है। जब जटिल डोमेन (कारों और तेल पाइपलाइनों) की समस्या का विश्लेषण करने के लिए एफईए एक अच्छा विकल्प है, जब डोमेन बदलता है (एक चलती सीमा के साथ ठोस राज्य प्रतिक्रिया के दौरान), जब वांछित सटीक पूरे डोमेन पर भिन्न होता है, या जब समाधान चिकनाई का अभाव है एफईए सिमुलेशन एक बहुमूल्य संसाधन प्रदान करते हैं क्योंकि वे विभिन्न उच्च निष्ठा स्थितियों के लिए कठिन प्रोटोटाइप के निर्माण और परीक्षण के कई उदाहरण निकालते हैं। [3] उदाहरण के लिए, एक ललाट क्रैश सिमुलेशन में कार के मोर्चे की तरह "महत्वपूर्ण" क्षेत्रों में भविष्यवाणी की सटीकता में वृद्धि करना संभव है और इसे इसके पीछे (इस प्रकार सिमुलेशन की लागत को कम करने) में कम किया जा सकता है। एक अन्य उदाहरण संख्यात्मक मौसम की भविष्यवाणी में होगा, जहां अपेक्षाकृत शांत क्षेत्रों की बजाय अत्यधिक गैर-रेखाीय घटनाओं (जैसे वायुमंडल में उष्णकटिबंधीय चक्रवात या महासागर में एडीडीज़) के विकास के बारे में सटीक भविष्यवाणियां अधिक महत्वपूर्ण हैं।

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