द्विपद रचनांतर

क्रमचय-संचय में, द्विपद रचनांतर (अथवा द्विपद रुपांतरण) अनुक्रम रुपांतरण (अनुक्रम का रचनांतर) है जो अग्र अन्तर की गणना करता है। यह आयलर रुपांतरण से काफी समानता रखता है, जो साधारण जनक फलन से सम्बंधित अनुक्रम का द्विपद रुपांतरण हैं।

किसी अनुक्रम {a_n} का द्विपद रुपांतरण, T, निम्नलिखित समीकरण द्वारा परिभाषित अनुक्रम {s_n} है

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{k}.}$

औपचारिक रूप से, रुपांतरण के लिए (Ta)_n = s_n लिखा जा सकता है जहाँ T आव्युह अवयव T_nk के साथ अनन्त-विमीय संकारक है:

${\displaystyle s_{n}=(Ta)_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}a_{k}.}$

रुपांतरण एक अंतर्वलन है, जहाँ,

${\displaystyle TT=1\,}$

तथा सूचकांक निरूपण में,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T_{nk}T_{km}=\delta _{nm}}$

है, जहाँ δ क्रोनेकर डेल्टा फलन है। मूल श्रेणी को निम्न प्रकार भी लिखा जा सकता है

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}s_{k}.}$

किसी अनुक्रम का द्विपद रचनांतर अनुक्रम का nवाँ अग्र अन्तर है जिसमें विषम अन्तर ऋणात्मक चिह्न रखते हैं, नामतः:

${\displaystyle s_{0}=a_{0}}$

${\displaystyle s_{1}=-(\triangle a)_{0}=-a_{1}+a_{0}}$

${\displaystyle s_{2}=(\triangle ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_{2}-2a_{1}+a_{0}}$

${\displaystyle \vdots \,}$

${\displaystyle s_{n}=(-1)^{n}(\triangle ^{n}a)_{0}}$

जहाँ Δ अग्र अन्तर संकारक है।

कुछ लेखक द्विपद रुपान्तरण को अतिरिक्त चिह्न के साथ परिभाषित करते हैं, अतः वह अपना-व्युत्क्रम नहीं होता:

${\displaystyle t_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}a_{k}}$

जिसका व्युत्क्रम निम्नलिखित है

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}t_{k}.}$

द्विपद रुपांतरण निम्न सारणी में देखा जा सकता है। निम्न सारणी को देखें:

शीर्ष पंक्ति 0, 1, 10, 63, 324, 1485,... ((2n² + n)3^n − 2 द्वारा परिभाषित अनुक्रम) का द्विपद रुपांतरण विकर्ण 0, 1, 8, 36, 128, 400,... (n²2^n − 1 द्वारा परिभाषित अनुक्रम) द्वारा दिया जाता है।

• John H. Conway and Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
• Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Vol. 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
• Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transform
• Michael Z. Spivey and Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel Transform
• Borisov B. and Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82

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