त्रिकोणमिति

${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \ \cos \beta -\cos \alpha \ \sin \beta }$

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \ \cos \beta +\cos \alpha \ \sin \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \ \cos \beta +\sin \alpha \ \sin \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \ \cos \beta -\sin \alpha \ \sin \beta }$

${\displaystyle \tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}}$

${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}}$

उपरोक्त में यदि α = β रख दें तो,

${\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha }$

${\displaystyle \cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha }$

${\displaystyle \cos(2\alpha )=2\cos ^{2}\alpha -1}$

${\displaystyle \cos(2\alpha )=1-2\sin ^{2}\alpha \ }$

${\displaystyle \tan(2\alpha )={\frac {2\tan \alpha \ }{1-\tan ^{2}\alpha \ }}}$

${\displaystyle \sin(3\alpha )=3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha }$

${\displaystyle \cos(3\alpha )=4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha }$

${\displaystyle \tan(3\alpha )={\frac {3\tan \alpha -\tan ^{3}\alpha }{1-3\tan ^{2}\alpha }}}$

${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$

${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$

${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$

${\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$

${\displaystyle \sin \alpha +\cos \alpha ={\sqrt {2}}\cos \left(\alpha -{\tfrac {1}{4}}\pi \right)={\sqrt {2}}\sin(\alpha +{\tfrac {1}{4}}\pi )}$

${\displaystyle \sin \alpha -\cos \alpha =-{\sqrt {2}}\cos \left(\alpha +{\tfrac {1}{4}}\pi \right)={\sqrt {2}}\sin(\alpha -{\tfrac {1}{4}}\pi )}$

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}$

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}$

${\displaystyle \sec ^{2}\alpha =1+\tan ^{2}\alpha }$

${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\tfrac {1}{2}}\sin(\alpha -\beta )+{\tfrac {1}{2}}\sin(\alpha +\beta )}$

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\tfrac {1}{2}}\cos(\alpha -\beta )-{\tfrac {1}{2}}\cos(\alpha +\beta )}$

${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\tfrac {1}{2}}\cos(\alpha -\beta )+{\tfrac {1}{2}}\cos(\alpha \ +\beta \ )}$

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos(4\alpha )}{8}}}$

${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ }$

${\displaystyle \tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\ }$

${\displaystyle \cot ^{2}A+1=\csc ^{2}A\ }$

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}$

जहाँ

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a+c-b)(a+b-c)(b+c-a)}}}.}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,}$

या:

${\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.}$

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathop {\operatorname {tan} } \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\mathop {\operatorname {tan} } \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}}$

भारतीय गणितज्ञों ने त्रिकोणमिति के क्षेत्र में अत्यन्त महत्वपूर्ण योगदान किया है। आर्यभट (476-550 ई.) ने अपने आर्यसिद्धान्त नामक ग्रन्थ में सबसे पहले ज्या (साइन), कोज्या (कोसाइन), उत्क्रम ज्या (versine) तथा व्युज्या (inverse sine) की परिभाषा की, जिससे त्रिकोणमिति का जन्म हुआ। वस्तुतः आज प्रयुक्त 'साइन' और 'कोसाइन' आर्यभट द्वारा पारिभाषित 'ज्या' और 'कोज्या' के ही बिगडे हुए रूप (अपभ्रंश) हैं। आर्यभट ने ही सबसे पहले साइन और वर्साइन (versine) (1 − cos x) की सारणी प्रस्तुत की है जो 3.75° के अन्तराल पर 0° से 90°तक के कोण के लिए है और दशमलव के चार अंकों तक शुद्ध है। अन्य भारतीय गणितज्ञों ने आर्यभट के कार्य को और आगे बढ़ाया।

६ठी शताब्दी के भारतीय गणितज्ञ वराहमिहिर ने निम्नलिखित सूत्र दिये-

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\;}$

${\displaystyle \sin x=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-x\right)}$

${\displaystyle {\tfrac {1-\cos(2x)}{2}}=\sin ^{2}x}$

७वीं शताब्दी में, भास्कर प्रथम ने एक सूत्र दिया जिसकी सहायता से किसी न्यूनकोण के साइन का सन्निकट (approximate) मान बिना सारणी के निकाला जा सकता है( इस गणना में अशुद्धि 1.9% से भी कम होती है।):

${\displaystyle \sin x\approx {\tfrac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}},\qquad 0\leqslant x\leqslant {\tfrac {\pi }{2}}}$

७वीं शताब्दी के अन्त में ब्रह्मगुप्त ने निम्नलिखित सूत्र दिए-

${\displaystyle \ 1-\sin ^{2}x=\cos ^{2}x=\sin ^{2}\left({\tfrac {\pi }{2}}-x\right)}$

तथा ब्रह्मपुत्र अंतर्वेशन सूत्र (इन्टरपोलेशन फॉर्मूला) यह है-

${\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x\left({\tfrac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}\right)+{\tfrac {x^{2}\Delta ^{2}f(a-h)}{2}}.}$

जिसकी सहायता से विभिन्न कोणों के साइन के मान निकाले जा सकते थे।^[1].

त्रिकोणमिति और त्रिकोणमितीय फलनों के अनेकानेक उपयोग हैं। उदाहरण के लिए, खगोल विज्ञान में त्रिकोणीयन की तकनीक का उपयोग आसपास के तारों की दूरी ज्ञात की जा सकती है। इसी तरह, भूगोल में त्रिकोणीयन द्वारा भू-चिह्नों (लैण्डमार्क) के बीच की दूरी निकाल सकते हैं। उपग्रह की सहायता से नौवहन में त्रिकोणमिति अत्यन्त उपयोगी है। अन्य शब्दों में यह कहा जा सकता है कि जो दूरियाँ सीधे नहीं मापी जा सकती या जिन्हें सीधे मापना अत्यन्त कठिन है, उन दूरियों की गणना त्रिकोणमिति की सहायता से अत्यन्त शुद्धता से की जा सकती है। इसके लिए अत्यन्त सरलता से मापे जा सकने वाली कुछ अन्य दूरियाँ और कोण मापने पड़ते हैं। उदाहरण के लिए किसी वृक्ष की ऊँचाई सीधे मापना कठिन हो तो धरातल पर स्थित किसी बिन्दु से उस वृक्ष की जड़ तक की दूरी तथा उस बिन्दु से वृक्ष के शिखर का कोण माप लिया जाय तो त्रिकोणमितीय गणना द्वारा बड़ी आसानी से उसकी ऊँचाई निकाली जा सकती है। इसी तरह यदि आप किसी नदी के किनारे खड़े हैं और उस नदी की चौड़ाई जानना चाहते हैं तो इसके लिए त्रिकोणमिति की सहायता ले सकते हैं। मान लीजिए कि उस नदी के दूसरे किनारे पर एक मन्दिर है। आप मन्दिर के ठीक सामने नदी के इस किनारे पर खड़े होकर उसके शिखर का उन्नयन कोण माप लीजिए। फिर नदी के इसी किनारे-किनारे कुछ दूरी (जैसे, १०० मीटर) चलने के बाद वहाँ से मन्दिर के शिखर का उन्नयन कोण माप लीजिए। इन दो कोणों और एक दूरी के ज्ञात होने से उस नदी की चौड़ाई निकाल सकते हैं।

• त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची
• त्रिकोणमिति के उपयोग
• त्रिकोणीय सर्वेक्षण
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन