तुल्यता वर्ग

गणित में जब किसी समुच्चय ${\displaystyle S}$ के अवयवों पर कोई समतुल्यता पारिभाषित हो (जो कि तुल्यता सम्बन्ध के रूप में की जाती है) तो उस समुच्चय ${\displaystyle S}$ को तुल्यता वर्गों (equivalence classes) में विभक्त किया जा सकता है। ये तुल्यता वर्ग इस प्रकार बनाये जाते हैं कि अवयव ${\displaystyle a}$ और अवयव ${\displaystyle b}$ एक ही तुल्यता वर्ग में होंगे यदि और केवल यदि वे तुल्य हों।

औपचारिक रूप से कहें तो, यदि कोई समुच्चय ${\displaystyle S}$ और और उस पर एक तुल्य सम्बन्ध ${\displaystyle \,\sim \,}$ दिया हो तो समुच्चय ${\displaystyle S,}$ के किसी अवयव ${\displaystyle a}$ का तुल्यता वर्ग निम्नलिखित समुच्चय होगा- $${\displaystyle \{x\in S:x\sim a\}}$$ जिसके सभी अवयव ${\displaystyle a}$ के तुल्य हों। इसे ${\displaystyle [a],}$^[1][2] द्वारा निरुपित किया जाता है।

तुल्य सम्बन्ध के पारिभाषिक गुणों के आधार पर यह सिद्ध किया जा सकता है कि तुल्यता वर्ग वस्तुतः समुच्चय ${\displaystyle S}$ के का विभाजन कर देता है। इस विभाजन के परिणामस्वरूप बने तुल्यता वर्गों के समुच्चय को ${\displaystyle S}$ का भागफल समुच्चय (quotient set या quotient space) कहते हैं और इसे ${\displaystyle S/\sim }$ द्वारा निरूपित किया जाता है।