ग्रीन का फलन

गणित में, ग्रीन के फलन (Green's functions) रैखिक आंशिक अवकल समीकरणों के हल में आने वाले सहायक फलन (auxiliary functions ) हैं। इनका नाम अंग्रेज गणितज्ञ जॉर्ज ग्रीन के नाम पर पड़ा है। जॉर्ज ग्रीन ने विद्युत तथा चुम्बकत्व का अध्ययन अत्यन्त गणितीय विधि से किया और १८२८ में प्रकाशित एक पुस्तक में इन फलनों के बारे में जानकारी दी। बहुत दिनों तक इस पर लोगों का ध्यान नहीं गया और ग्रीन की मृत्यु के नौ वर्ष बाद लॉर्ड केल्विन ने इसका महत्व समझा और इसे प्रकाशित कराया।

ग्रीन के फलन बहुत उपयोगी हैं। ये कोई भौतिक संकल्पना नहीं हैं बल्कि एक गणितीय औजार हैं जिनका उपयोग १९वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में क्लासिकल विद्युत्चुम्बकत्व और ध्वनिकी में अत्यन्त सफलतापूर्वक किया गया। हाल के दिनों में इसका उपयोग कण भौतिकी, संघनित द्रव्य भौतिकी, ठोस अवस्था भौतिकी, क्वाण्टम यांत्रिकी तथा अनुप्रयुक्त गणित के अनेकानेक उपविषयों में गणना के लिये औजार के रूप में किया गया है। ^[1]

वास्तव में ग्रीन के फलन एक असमघाती रैखिक डिफरेन्शियल ऑपरेटर की आवेग अनुक्रिया है जो निर्दिष्ट प्रारंभिक स्थितियों या सीमा शर्तों के साथ किसी डोमेन पर परिभाषित हो।

इसका अर्थ यह है कि यदि L वह रैखिक डिफरेन्शियल ऑपरेटर है, तो

• ग्रीन का फलन G, समीकरण LG = δ का हल है, जहां δ डिराक का डेल्टा फलन है ;

• प्रारंभिक-मूल्य समस्या Ly = f का हल (G ⁎ f ) होगा, अर्थात G और f का कॉनवोलुशन। यहाँ G ग्रीन का फलन है।

नीचे की सारणी में उन प्रमुख ग्रीन फलनों का संक्षिप्त विवरण दिया गया है। ये ग्रीन फलन उन सभी डिफरेन्शियल ऑपरेटर के लिये दिये गये हैं जो प्रायः प्रयुक्त होते हैं। जहाँ ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$, ${\textstyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$, ${\textstyle \Theta (t)}$ हेविसाइड स्टेप फलन (Heaviside step function) है, ${\textstyle J_{\nu }(z)}$ एक बेसेल फलन है, ${\textstyle I_{\nu }(z)}$ प्रथम प्रकार का संशोधित बेसेल फलन है और ${\textstyle K_{\nu }(z)}$ द्वितीय प्रकार का संशोधित बेसल फलन है^[2] जहाँ समय (t) प्रथम कॉलम में आया हुआ है, वहाँ उन्नत ग्रीन फलन दिया हुआ है।

डिफरेंशियल ऑपरेटर L	ग्रीन का फलन G	अनुप्रयोग के उदाहरण
${\displaystyle \partial _{t}^{n+1}}$	${\displaystyle {\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)}$
${\displaystyle \partial _{t}+\gamma }$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}}$
${\displaystyle \left(\partial _{t}+\gamma \right)^{2}}$	${\displaystyle \Theta (t)te^{-\gamma t}}$
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$ where ${\displaystyle \gamma <\omega _{0}}$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}~{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}}$   with   ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}}$	1D underdamped harmonic oscillator
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$ where ${\displaystyle \gamma >\omega _{0}}$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}~{\frac {\sinh(\omega t)}{\omega }}}$   with   ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$	1D overdamped harmonic oscillator
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}+\omega _{0}^{2}}$ where ${\displaystyle \gamma =\omega _{0}}$	${\displaystyle \Theta (t)e^{-\gamma t}t}$	1D critically damped harmonic oscillator
2D Laplace operator ${\displaystyle \nabla _{\text{2D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\ln \rho }$   with   ${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$	2D Poisson equation
3D Laplace operator ${\displaystyle \nabla _{\text{3D}}^{2}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {-1}{4\pi r}}}$   with   ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$	Poisson equation
Helmholtz operator ${\displaystyle \nabla _{\text{3D}}^{2}+k^{2}}$	${\displaystyle {\frac {-e^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}}$${\displaystyle H_{1/2}^{(2)}(kr)}$${\displaystyle =i{\frac {k}{4\pi }}\,}$${\displaystyle h_{0}^{(2)}(kr)}$	stationary 3D Schrödinger equation for free particle
${\displaystyle \nabla ^{2}-k^{2}}$ in ${\displaystyle n}$ dimensions	${\displaystyle -(2\pi )^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr)}$	Yukawa potential, Feynman propagator
${\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2c}}\Theta (t-|x/c|)}$	1D wave equation
${\displaystyle \partial _{t}^{2}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}}\Theta (t-\rho /c)}$	2D wave equation
D'Alembert operator ${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{3D}}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {\delta (t-{\frac {r}{c}})}{4\pi r}}}$	3D wave equation
${\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle \Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}e^{-x^{2}/4kt}}$	1D diffusion
${\displaystyle \partial _{t}-k\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}$	${\displaystyle \Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)e^{-\rho ^{2}/4kt}}$	2D diffusion
${\displaystyle \partial _{t}-k\,\nabla _{\text{3D}}^{2}}$	${\displaystyle \Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}e^{-r^{2}/4kt}}$	3D diffusion
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2}+\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)(\delta (ct-x)+\delta (ct+x))+\mu \Theta (ct-|x|)J_{0}(\mu u)\right]}$   with   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}$	1D Klein–Gordon equation
${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla _{\text{2D}}^{2}+\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[(1+\cos(\mu ct)){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\operatorname {sinc} (\mu u)\right]}$   with   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}$	2D Klein–Gordon equation
${\displaystyle \square +\mu ^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}\left(\mu u\right)}{u}}\right]}$   with   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}$	3D Klein–Gordon equation
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\partial _{x}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\Theta (ct-|x|)\left({\frac {\gamma }{c}}I_{0}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {\gamma t}{u}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right]}$   with   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}}}}$	telegrapher's equation
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{2D}}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\left[(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+\Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma \sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{cu}}+{\frac {3\gamma t\cosh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{2}}}-{\frac {3ct\sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{u^{3}}}\right)\right]}$   with   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2}}}}$	2D relativistic heat conduction
${\displaystyle \partial _{t}^{2}+2\gamma \partial _{t}-c^{2}\,\nabla _{\text{3D}}^{2}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2}t^{2}\right){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2}}}+{\frac {\gamma ^{2}}{c}}\Theta (ct-r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {4t}{u^{2}}}I_{2}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right]}$   with   ${\displaystyle u={\sqrt {c^{2}t^{2}-r^{2}}}}$	3D relativistic heat conduction

• ग्रीन का प्रमेय