गुणन नियम

कैलकुलस में, गुणन नियम (product rule) दो या अधिक फलनों के गुणनफल का अवकलज निकालने का एक सूत्र है।

गुणन नियम को निम्नलिखित ढंग से अभिव्यक्त किया जा सकता है-

${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,\!}$

इसे ही लैब्नीज के निरूपण (Leibniz notation) के द्वारा निम्नलिखित ढंग से लिखा जाता है-

${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}(u\cdot v)=u\cdot {\dfrac {dv}{dx}}+v\cdot {\dfrac {du}{dx}}}$.

और, डिफरेंशियल्स के रूप में इसे निम्नलिखित प्रकार से लिखा जाता है_

${\displaystyle d(uv)=u\,dv+v\,du}$.

माना निम्नलिखित फलन का अवकलज निकालना है-

${\displaystyle f(x)=x^{2}\,\sin(x)}$

गुणन नियम का उपयोग करते हुए इसका अवकलज निम्नलिखित है-

${\displaystyle f^{\prime }(x)=2x\,\sin(x)+x^{2}\,\cos(x)}$

ध्यान दें कि ${\displaystyle x^{2}\,}$ का अवकलज ${\displaystyle 2x\,}$ है, तथा

${\displaystyle \sin(x)\,}$ का अवकलज ${\displaystyle \cos(x)\,}$ है।

माना निम्नलिखित फलन का अवकलज निकालना है-

${\displaystyle h\left(x\right)=(x+1)(x^{2}+1)}$

इस फलन का अवकलज ${\displaystyle h'}$ प्राप्त करने के लिये ${\displaystyle h}$ को दो फलनों ${\displaystyle f(x)=x+1}$ तथा ${\displaystyle g(x)=(x^{2}+1)}$ का गुणनफल के रूप में देखें। अब गुणन नियम का उपयोग करने पर-

${\displaystyle \displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$

${\displaystyle =\displaystyle (x^{2}+1)+(x+1)(2x)}$

${\displaystyle =\displaystyle 3x^{2}+2x+1}$

यह अवकलज निम्नलिखित सरल रीति से भी निकाला जा सकता है। फलन ${\displaystyle h}$ को एक बहुपद के रूप में सरल करके लिखने पर,

${\displaystyle h\left(x\right)=x^{3}+x^{2}+x+1}$

ध्यान दें कि दायां पक्ष तीन पदों का योग है जिसका अवकलज तीनों पदों के अवकलज के योग के बराबर होगा। अर्थात-

${\displaystyle \displaystyle h'(x)=3x^{2}+2x+1}$

• लैब्नीज का सामान्य नियम‎