कौशी आव्यूह

गणित में कौशी के नाम से नामकरण किया गया कौशी आव्यूह अथवा कौशी मैट्रिक्स एक m× n का आव्यूह है जहाँ a_ij निम्न प्रकार परिभाषित है

${\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n}$

जहाँ ${\displaystyle x_{i}}$ और ${\displaystyle y_{j}}$ क्षेत्र ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ के अवयव हैं और ${\displaystyle (x_{i})}$ और ${\displaystyle (y_{j})}$ एकैकी अनुक्रम हैं (इनमें पुनरावृत्‍त अवयव समाहित नहीं हैं अर्थात सभी अवयव भिन्न हैं).

हिल्बर्ट आव्यूह कौशी आव्यूह की विशेष स्थिति है, जहाँ

${\displaystyle x_{i}-y_{j}=i+j-1.\;}$

कौशी आव्यूह का प्रत्येक उपाआव्यूह अपने आप में एक कौशी आव्यूह है।

कौशी आव्यूह का सारणिक प्राचलों ${\displaystyle (x_{i})}$ और ${\displaystyle (y_{j})}$ का स्पष्ट रूप से एक परिमेय फलन होगा।

एक आव्यूह C कौशी स्दृश्य कहलाता है यदि इसे निम्न रूप में लिखा जा सके

${\displaystyle C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.}$

X=diag(x_i), Y=diag(y_i) परिभषित करने पर, दोनों कौशी और कौशी सदृश आव्यूह विस्तापन समीकरण सन्तुष्ट करते हैं

${\displaystyle \mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T} }}$

(जहां कौशी आव्यूह के लिए ${\displaystyle r=s=(1,1,\ldots ,1)}$)। अतः कौशी स्दृश आव्यूह एक सामान्य विस्थापन आव्यूह है,

टोएपलित्ज़ आव्यूह

• A. Gerasoulis (1988). "A fast algorithm for the multiplication of generalized Hilbert matrices with vectors" (PDF). Mathematics of Computation. 50 (181): 179–188. मूल से 24 अक्तूबर 2012 को पुरालेखित (PDF). अभिगमन तिथि 5 मई 2013.
• I. Gohberg, T. Kailath, V. Olshevsky (1995). "Fast Gaussian elimination with partial pivoting for matrices with displacement structure" (PDF). Mathematics of Computation. 64 (212): 1557–1576. मूल से 24 अक्तूबर 2012 को पुरालेखित (PDF). अभिगमन तिथि 5 मई 2013.सीएस1 रखरखाव: एक से अधिक नाम: authors list (link)
• P. G. Martinsson, M. Tygert, V. Rokhlin (2005). "An ${\displaystyle O(N\log ^{2}N)}$ algorithm for the inversion of general Toeplitz matrices" (PDF). Computers & Mathematics with Applications. 50: 741–752. मूल से 27 सितंबर 2011 को पुरालेखित (PDF). अभिगमन तिथि 5 मई 2013.सीएस1 रखरखाव: एक से अधिक नाम: authors list (link)
• S. Schechter (1959). "On the inversion of certain matrices" (PDF). Mathematical Tables and Other Aids to Computation. 13 (66): 73–77. मूल से 24 अक्तूबर 2012 को पुरालेखित (PDF). अभिगमन तिथि 5 मई 2013.