कौशी अभिसरण परीक्षण

कौशी अभिसरण परीक्षण किसी अनन्त श्रेणी के अभिसरण के परीक्षण के लिए काम में लिया जाता है। एक श्रेणी

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$

सभी a_i वास्तविक अथवा सम्मिश्र के लिए यह योग के लिए अभिसारी है यदि और केवल यदि ∀ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ एक प्राकृतिक संख्या N इस प्रकार है कि

${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

∀ n > N और p ≥ 1.^[1]

यह परीक्षण कार्य करता है क्योंकि वास्तविक संख्याओं की समष्टि R और सम्मिश्र संख्याओं की समष्टि C (निरपेक्ष मान द्वारा दिए गए दूरिक सहित) दोनों पूर्ण हैं, अतः श्रेणी अभिसारी होगी यदि और केवल यदि आंशिक योग

${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}}$

एक कौशी अनुक्रम है : प्रत्येक ${\displaystyle \varepsilon >0}$ के लिए एक संख्या N इस प्रकार परिभषित है कि प्रत्येक n, m > N के लिए

${\displaystyle |s_{m}-s_{n}|<\varepsilon }$

माना m > n और अतः एक धनात्मक संख्या p = m − n परिभाषित करने पर

${\displaystyle |s_{n+p}-s_{n}|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon .}$