एल् हास्पिटल का नियम

कलन में लोपिताल के नियम की सहायता से अनिर्धार्य रूप वाले फलनों का सीमान्त मान ज्ञात किया जाता है। इसके अनुप्रयोग से अनिर्धार्य रूप वाले फलन किसी ऐसे व्यंजक में परिवर्तित हो जाते हैं जिसमें सीमा चर को रखकर मान प्राप्त किया जा सकता है।

इस नियम का नामकरण १७वीं सदी के फ्रांसीसी गणितज्ञ गियोम द लोपिताल के सम्मान में किया गया।^[1]) उन्होंने यह नियम १६९६ में अपनी पुस्तक एनालिसिस डेस इन्फिनिमेंट पटिटस पौर एल-इंटेलिजेंस डेस लिग्नेस कुर्बेस (शाब्दिक अनुवाद: वक्रीय रेखाओं को समझने हेतु अनन्तसूक्ष्म का विशलेषण) में किया था। यह पुस्तक अवकलन पर लिखी गयी प्रथम पुस्तक थी।^[2][3] यद्यपि, यह माना जाता है कि इस नियम की खोज सर्वप्रथम स्विस गणितज्ञ योहान बेर्नुली ने की थी।^[4]

अपने सरलतम रूप में, लोपिताल नियमानुसार, खुले अन्तराल I में बिन्दु c को छोड़कर अन्यत्र अवकलनीय फलनों f और g के लिए:

यदि

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty }$, और

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$   प्राप्त होता है और

${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ जहाँ वो सभी x अन्तराल I में हैं जिनके लिए x ≠ c है

तब

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$.

तब अंश और हर का अवकलन प्रायः भागफल का मान देता है अथवा एक ऐसी सीमा में परिवर्तित हो जाता है जिसका मान सीधे ज्ञात किया जा सकता है।

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}+5x}{3x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+5}{3}}={\frac {5}{3}}}$

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• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}+4x^{2}+7x+9}{x^{3}+3x^{2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+8x+7}{3x^{2}+6x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6x+8}{6x+6}}={\frac {6}{6}}=1}$
  यहाँ लोपिताल नियम को लगातार तीन बार लागू किया गया है। इसे दूसरे तरह से भी कर सकते हैं, (x³ से ऊपर और नीचे भाग देकर):

• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1+4/x+7/x^{2}+9/x^{3}}{1+3/x}}={\frac {1}{1}}=1}$

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{a}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots =\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a!}}=+\infty }$ — लोपिताल नियम को ${\displaystyle a}$ बार लगाने पर;

• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{a}}{\ln {x}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {ax^{a-1}}{\frac {1}{x}}}=a\cdot \lim _{x\to +\infty }{x^{a}}=+\infty }$ при ${\displaystyle a>0}$.

${\displaystyle {\cfrac {0}{0}}}$ तथा ${\displaystyle {\cfrac {\infty }{\infty }}}$ के अलावा अन्य अनिर्धार्य रूपों के लिये भी आवश्यक परिवर्तन करके लोपिताल नियम का उपयोग किया जा सकता है। कुछ उदाहरण प्रस्तुत हैं।

• ${\displaystyle 0*\infty }$ प्रकार के लिये

इसके लिये ये दो तरीके अपना सकते हैं           ${\displaystyle 0*\infty ={\cfrac {0}{({\cfrac {1}{\infty }})}}={\cfrac {0}{0}}}$           या         ${\displaystyle 0*\infty ={\cfrac {\infty }{({\cfrac {1}{0}})}}={\cfrac {\infty }{\infty }}}$

यह उदाहरण देखें

${\displaystyle \lim _{x\to 0}x\cdot log(x)=\lim _{x\to 0}{\cfrac {log(x)}{({\cfrac {1}{x}})}}\quad {\xrightarrow {\mathrm {l'H{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to 0}{\cfrac {({\cfrac {1}{x}})}{({\cfrac {-1}{x^{2}}})}}=\lim _{x\to 0}(-x)=0}$

• ${\displaystyle \infty -\infty }$ प्रकार के लिये

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x-{\sqrt {x^{2}-x}}=}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\cfrac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-x}}\right)\left(x-{\sqrt {x^{2}-x}}\right)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}=\lim _{x\to \infty }{\cfrac {x^{2}-(x^{2}-x)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}=\lim _{x\to \infty }{\cfrac {x}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\cfrac {\overbrace {x} ^{\infty }}{\underbrace {x+{\sqrt {x^{2}-x}}} _{\infty }}}={\cfrac {\infty }{\infty }}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\cfrac {x}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad {\xrightarrow {\mathrm {l'H{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to \infty }{\cfrac {(x)'}{(x+{\sqrt {x^{2}-x}})'}}=}$

${\displaystyle =\lim _{x\to \infty }{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2x-1}{2{\sqrt {x^{2}-x}}}}}}={\cfrac {1}{1+1}}={\cfrac {1}{2}}}$