आयलर संकलन

अभिसरण और अपसारी श्रेणी की गणित में आयलर संकलन एक संकलनीय विधि है। अर्थात् यह किसी श्रेणी को एक मान निर्दिष्ट करने की, आंशिक योग के सीमान्त मान वाली पारम्परिक विधियों से अलग एक विधि है। यदि किसी श्रेणी Σa_n का आयलर रुपांतरण इसके योग पर अभिसरित होता है तो इस योग को मूल श्रेणी का आयलर संकलन कहते हैं। इसी प्रकार अपसारी श्रेणी के लिए मान परिभाषित करने के लिए आयलर योग को श्रेणी के तीव्र अभिसरण के लिए काम में लिया जा सकता है।

आयलर योग को (E, q) द्वारा निरुपित किये गये जाने वाली विधियों के एक परिवार के रूप में व्यापकीकृत किया जा सकता है, जहाँ q ≥ 0 है। योग (E, 0) प्रायिक (अभिसारी) योग है जबकि (E, 1) साधारण आयलर योग है। ये सभी विधियाँ वास्तव में बोरेल संकलन से दुर्बल हैं; q > 0 के लिए एबल संकलन के तुल्य होता है।

आयलर संकलन एकान्तर चिह्न वाली श्रेणियों के अभिसरण को त्वरित करने और उनके अपसारी योग को ज्ञात करने के लिए काम में लिया जाता है।

${\displaystyle _{E_{y}}\,\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}:=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}y^{j+1}a_{j}.}$

आयलर संकलन प्रारम्भिक श्रेणी को छोटा करता है क्योंकि

${\displaystyle y^{j+1}\sum _{i=j}^{\infty }{i \choose j}{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}=1.}$

इस विधि को अपने आप में पुनरावृत्ति अनुप्रयोग के रूप में उन्नत नहीं किया जा सकता

${\displaystyle _{E_{y_{1}}}{}_{E_{y_{2}}}\sum =\,_{E_{\frac {y_{1}y_{2}}{1+y_{1}+y_{2}}}}\sum .}$