अवकलजों की सूची

किसी व्यंजक या फलन का अवकलज निकालना अवकलन की प्राथमिक क्रिया है। नीचे बहुत से फलनों के अवकलज या अवकल गुणांक दिए गए हैं। इनमे ƒ एवं g, x के सापेक्ष अवकलनीय फलन हैं; c कोई वास्तविक संख्या है।

रेखीयता

${\displaystyle \left({cf}\right)'=cf'}$

${\textstyle \left({f\pm g}\right)'=f'\pm g'}$

गुणन नियम

${\displaystyle \left({fg}\right)'=f'g+fg'}$

भाग का नियम

${\displaystyle \left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2}},\qquad g\neq 0}$

शृंखला नियम

${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)g'}$

${\displaystyle D_{x}c=0}$

${\displaystyle D_{x}x=1}$

${\displaystyle D_{x}(cx)=c}$

${\displaystyle D_{x}|x|={|x| \over x}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0}$

${\displaystyle D_{x}x^{c}=cx^{c-1}\qquad {\mbox{where both }}x^{c}{\mbox{ and }}cx^{c-1}{\mbox{ are defined}}}$

${\displaystyle D_{x}\left({1 \over x}\right)=D_{x}\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-{1 \over x^{2}}}$

${\displaystyle D_{x}\left({1 \over x^{c}}\right)=D_{x}\left(x^{-c}\right)=-cx^{-c-1}=-{c \over x^{c+1}}}$

${\displaystyle D_{x}{\sqrt {x}}=D_{x}x^{1 \over 2}={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0}$

${\displaystyle D_{x}c^{ax}={ac^{ax}\ln c},\qquad c>0}$

${\displaystyle D_{x}e^{ax}=ae^{ax}}$

${\displaystyle D_{x}\log _{c}x={1 \over x\ln c},\qquad c>1}$

${\displaystyle D_{x}\ln x={1 \over x},\qquad x>0}$

${\displaystyle D_{x}\ln |x|={1 \over x}\qquad x\neq 0}$

${\displaystyle D_{x}x^{x}=x^{x}(1+\ln x)}$

${\displaystyle D_{x}\sin x=\cos x}$

${\displaystyle D_{x}\cos x=-\sin x}$

${\displaystyle D_{x}\tan x=\sec ^{2}x}$

${\displaystyle D_{x}\sec x=\sec x\tan x}$

${\displaystyle D_{x}\csc x=-\csc x\cot x}$

${\displaystyle D_{x}\cot x=-\csc ^{2}x}$

${\displaystyle D_{x}\arcsin x={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle D_{x}\arccos x={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle D_{x}\arctan x={1 \over 1+x^{2}}}$

${\displaystyle D_{x}\operatorname {arcsec} x={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle D_{x}\operatorname {arccsc} x={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle D_{x}\operatorname {arccot} x={-1 \over 1+x^{2}}}$

${\displaystyle D_{x}\sinh x=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}$

${\displaystyle D_{x}\cosh x=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}$

${\displaystyle D_{x}\tanh x=\operatorname {sech} ^{2}\,x}$

${\displaystyle D_{x}\,\operatorname {sech} \,x=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}$

${\displaystyle D_{x}\,\operatorname {coth} \,x=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}$

${\displaystyle D_{x}\,\operatorname {csch} \,x=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}$

${\displaystyle D_{x}\,\operatorname {arcsinh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}$

${\displaystyle D_{x}\,\operatorname {arccosh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}$

${\displaystyle D_{x}\,\operatorname {arctanh} \,x={1 \over 1-x^{2}}}$

${\displaystyle D_{x}\,\operatorname {arcsech} \,x={-1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\displaystyle D_{x}\,\operatorname {arccoth} \,x={1 \over 1-x^{2}}}$

${\displaystyle D_{x}\,\operatorname {arccsch} \,x={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

यदि वास्तविक अर्गुमेन्ट वाले किसी भी अवकलनीय फलन f के लिये इन्वर्स और अन्य यौगिक क्रियाएं अस्तित्व रखती हैं तो,

${\displaystyle D_{x}(f^{-1}(x))={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}}$

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