अभिलक्षणिक मान तथा अभिलक्षणिक सदिश

किसी अशून्य वर्ग मैट्रिक्स ${\displaystyle A}$ का अभिलाक्षणिक सदिश (आइगेन वेक्टर / eigenvector) ${\displaystyle v}$ वह अशून्य सदिश है जो निम्नलिखित विशेषता रखता है-

${\displaystyle Av=\lambda v}$

जहाँ ${\displaystyle \lambda }$ एक संख्या है। इसे ${\displaystyle A}$ का अभिलाक्षणिक मान (आइगेन मान / eigenvalue) कहा जाता है।

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}},}$

के लिए सदिश

${\displaystyle v={\begin{bmatrix}4\\-4\end{bmatrix}}}$

अभिलाक्षणिक सदिश है जिसका अभिलाक्षणिक मान 2 है। क्योंकि,

${\displaystyle Av={\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\cdot 4+1\cdot (-4)\\1\cdot 4+3\cdot (-4)\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}8\\-8\end{bmatrix}}=2\cdot {\begin{bmatrix}4\\-4\end{bmatrix}}.}$

लेकिन निम्नलिखित सदिश

${\displaystyle v={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$

अभिलाक्षणिक सदिश नहीं है क्योंकि

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\cdot 0+1\cdot 1\\1\cdot 0+3\cdot 1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}},}$

तथा यह सदिश मूल सदिश ${\displaystyle v}$ का कोई गुणक (multiple) नहीं है।

मैट्रिक्स

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}},}$

हो तो,

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}=0\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \quad }$

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\3\end{bmatrix}}=3\cdot {\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},\quad \quad }$ तथा

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\4\\0\end{bmatrix}}=2\cdot {\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}}.}$

अतः सदिश ${\displaystyle [1,0,0]^{\top }}$, ${\displaystyle [0,0,1]^{\top }}$ और ${\displaystyle [1,2,0]^{\top }}$ सदिश ${\displaystyle A}$ के अभिलाक्षणिक सदिश हैं तथा संगत अभिलाक्षणिक मान क्रमशः 0, 3 और 2 हैं। (यहाँ संकेत ${\displaystyle {}^{\top }}$ मैट्रिक्स के ट्रांसपोज का प्रतीक है।