अतिपरवलयिक फलन

गणित में, अतिपरवलयिक फलन (hyperbolic functions) ऐसे फलन हैं जो सामान्य त्रिकोणमितीय फलनों से मिलते-जुलते किन्तु अलग फलन हैं।

हाइपरबोलिक साइन "sinh" ( या ),^[1] और हाइपरबोलिक कोसाइन "cosh" (),^[2] मूलभूत अतिपरवलयिक फलन हैं। इनसे हाइपरबोलिक टैन्जेन्ट "tanh" ( या ),^[3] हाइपरबोलिक कोसेकेन्ट "csch" या "cosech" (^[2] या ), हाइपरबोलिक सेकेन्ट "sech" ( या ),^[4] तथा हाइपरबोलिक कोटैन्जेन्ट "coth" ( या ),^[5][6] व्युत्पन्न हुए हैं।

अतिपरवलयिक फलनों को कई तरह से पारिभाषित किया जाता है। एक विधि इनको इक्सपोनेन्शियल फलन के फलन के रूप में परिभाषित करती है-

• Hyperbolic sine:

${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$

• Hyperbolic cosine:

${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.}$

• Hyperbolic tangent:

${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}.}$

• Hyperbolic cotangent:

${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}={\frac {1+e^{-2x}}{1-e^{-2x}}},\qquad x\neq 0.}$

• Hyperbolic secant:

${\displaystyle \operatorname {sech} \,x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}={\frac {2e^{-x}}{1+e^{-2x}}}.}$

• Hyperbolic cosecant:

${\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}={\frac {2e^{-x}}{1-e^{-2x}}},\qquad x\neq 0.}$

हाइपरबोलिक फलनों को अवकल समीकरणों के हल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरबोलिक साइन और हाइपरबोलिक कोसाइन निम्नलिखित तन्त्र के अनन्य हल (s, c) हैं-

${\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x)\\s'(x)&=c(x)\end{aligned}}}$

such that s(0) = 0 and c(0) = 1.

ये फलन निमनलिखित समीकरण के अन्न्य हल भी हैं- ${\displaystyle f''(x)=f(x),}$ such that ${\displaystyle f(0)=1,f'(0)=0,}$ for the hyperbolic cosine, and ${\displaystyle f(0)=0,f'(0)=1,}$ for the hyperbolic sine.

Hyperbolic functions may also be deduced from trigonometric functions with complex arguments:

• Hyperbolic sine:

${\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)}$

• Hyperbolic cosine:

${\displaystyle \cosh x=\cos(ix)}$

• Hyperbolic tangent:

${\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)}$

• Hyperbolic cotangent:

${\displaystyle \coth x=i\cot(ix)}$

• Hyperbolic secant:

${\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)}$

• Hyperbolic cosecant:

${\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)}$

where i is the imaginary unit with the property that ${\displaystyle i^{2}=-1.}$

The complex forms in the definitions above derive from Euler's formula.